Diketahui fungsi f(x)= sin (x - pi/2) - cos (x - pi/2)

π/4 < x < 5π/4

Pembahasan

Untuk menentukan interval fungsi f(x) = sin(x - π/2) - cos(x - π/2) naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan tersebut bernilai positif.

Pertama, kita bisa menyederhanakan fungsi menggunakan identitas trigonometri:
sin(α - π/2) = -cos(α)
cos(α - π/2) = sin(α)

Maka, f(x) = -cos(x) - sin(x).

Selanjutnya, kita cari turunan pertama f'(x):
f'(x) = d/dx (-cos(x) - sin(x))
f'(x) = -(-sin(x)) - cos(x)
f'(x) = sin(x) - cos(x)

Fungsi f(x) naik ketika f'(x) > 0:
sin(x) - cos(x) > 0
sin(x) > cos(x)

Kita perlu mencari nilai x di mana sin(x) lebih besar dari cos(x) dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π.
Ini terjadi pada kuadran pertama dan ketiga, namun perlu diperhatikan titik potong sin(x) = cos(x).

Titik potong terjadi ketika tan(x) = 1, yaitu pada x = π/4 dan x = 5π/4.

Dalam interval 0 ≤ x < π/4, cos(x) > sin(x), sehingga f'(x) < 0 (fungsi turun).
Dalam interval π/4 < x < 5π/4, sin(x) > cos(x), sehingga f'(x) > 0 (fungsi naik).
Dalam interval 5π/4 < x ≤ 2π, cos(x) > sin(x), sehingga f'(x) < 0 (fungsi turun).

Jadi, fungsi f(x) naik pada interval π/4 < x < 5π/4.