Pada gambar berikut, p, q, r adalah vektor satuan dan

Terbukti, p . r = 16/65

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa p . r = 16/65, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan dan identitas trigonometri.

Diketahui:
p, q, r adalah vektor satuan, yang berarti |p| = |q| = |r| = 1.
p . q = 3/5
q . r = 12/13
0 < a < pi dan 0 < b < pi, di mana a adalah sudut antara p dan q, dan b adalah sudut antara q dan r.

Kita tahu bahwa hasil kali titik dua vektor adalah:
p . q = |p||q|cos(a) = (1)(1)cos(a) = cos(a)
Jadi, cos(a) = 3/5.

q . r = |q||r|cos(b) = (1)(1)cos(b) = cos(b)
Jadi, cos(b) = 12/13.

Kita perlu mencari p . r, yang sama dengan |p||r|cos(sudut antara p dan r).
Sudut antara p dan r adalah a + b (dengan asumsi p, q, r berada dalam bidang yang sama dan urutannya demikian, atau kita perlu mempertimbangkan kemungkinan lain jika tidak). Dengan menggunakan petunjuk yang diberikan, cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b.

Kita perlu mencari sin(a) dan sin(b).
Karena 0 < a < pi, maka sin(a) positif.
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
sin^2(a) + (3/5)^2 = 1
sin^2(a) + 9/25 = 1
sin^2(a) = 1 - 9/25 = 16/25
sin(a) = sqrt(16/25) = 4/5.

Karena 0 < b < pi, maka sin(b) positif.
sin^2(b) + cos^2(b) = 1
sin^2(b) + (12/13)^2 = 1
sin^2(b) + 144/169 = 1
sin^2(b) = 1 - 144/169 = 25/169
sin(b) = sqrt(25/169) = 5/13.

Sekarang kita hitung cos(a+b):
cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a+b) = (3/5)(12/13) - (4/5)(5/13)
cos(a+b) = 36/65 - 20/65
cos(a+b) = 16/65.

Jika sudut antara p dan r adalah a+b, maka:
p . r = |p||r|cos(a+b)
p . r = (1)(1)(16/65)
p . r = 16/65.

Ini membuktikan pernyataan tersebut.