Diketahui fungsi f(x)=x+1 dan (hogof )(2 x^(2))=6 x^(2)-8 .

5

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $(g^{-1}oh^{-1})(4)$, kita perlu memahami komposisi fungsi dan fungsi inversnya. Diketahui $f(x) = x+1$ dan $(h 	ext{ o } g 	ext{ o } f)(2x^2) = 6x^2 - 8$. Ini berarti $h(g(f(2x^2))) = 6x^2 - 8$.

Langkah 1: Cari $f(2x^2)$.
Karena $f(x) = x+1$, maka $f(2x^2) = (2x^2) + 1 = 2x^2 + 1$.

Langkah 2: Substitusikan hasil $f(2x^2)$ ke dalam persamaan.
$h(g(2x^2+1)) = 6x^2 - 8$.

Langkah 3: Kita perlu mencari nilai ketika input ke $h$ adalah 4. Untuk itu, kita misalkan $g(2x^2+1) = 4$. Namun, kita belum mengetahui fungsi $g(x)$ atau $h(x)$ secara spesifik. Akan tetapi, kita bisa melihat pola pada persamaan $h(g(f(2x^2))) = 6x^2 - 8$. Jika kita perhatikan, inputnya adalah $2x^2$ dan outputnya adalah $6x^2 - 8$. Ini terlihat seperti ada hubungan linear atau kuadratik.

Mari kita coba dekati dengan mencari invers dari komposisi fungsi. Kita tahu bahwa $(h 	ext{ o } g 	ext{ o } f)^{-1}(x) = f^{-1} 	ext{ o } g^{-1} 	ext{ o } h^{-1}(x)$.
Kita perlu mencari $(g^{-1}oh^{-1})(4)$. Ini sama dengan $(h 	ext{ o } g)^{-1}(4)$.

Misalkan $y = (h 	ext{ o } g 	ext{ o } f)(2x^2) = 6x^2 - 8$.
Kita perlu mencari nilai ketika $h(g(f(z))) = 4$, di mana $z = 2x^2$. Jadi, kita perlu mencari $z$ sedemikian sehingga $6(rac{z}{2}) - 8 = 4$, jika kita mengasumsikan $h(g(f(w))) = 6w-8$. Tapi inputnya adalah $2x^2$, bukan $x$. 

Kita punya $h(g(f(2x^2))) = 6x^2 - 8$. Mari kita buat substitusi agar lebih mudah. Misalkan $u = 2x^2$. Maka $x^2 = u/2$. Persamaan menjadi $h(g(f(u))) = 6(u/2) - 8 = 3u - 8$.
Karena $f(x) = x+1$, maka $f(u) = u+1$.
Jadi, $h(g(u+1)) = 3u - 8$.

Kita ingin mencari $(g^{-1}oh^{-1})(4)$. Ini sama dengan mencari nilai $y$ sehingga $(h 	ext{ o } g)(y) = 4$.
Misalkan $v = u+1$. Maka $u = v-1$. Substitusikan ke dalam persamaan $h(g(u+1)) = 3u - 8$.
$h(g(v)) = 3(v-1) - 8 = 3v - 3 - 8 = 3v - 11$.

Jadi, kita memiliki $(h 	ext{ o } g)(v) = 3v - 11$.
Sekarang kita perlu mencari $(h 	ext{ o } g)^{-1}(4)$.
Misalkan $(h 	ext{ o } g)(y) = 4$.
Maka $3y - 11 = 4$.
$3y = 15$.
$y = 5$.

Karena $(h 	ext{ o } g)^{-1}(4) = 5$, dan kita tahu bahwa $(h 	ext{ o } g)^{-1} = g^{-1} 	ext{ o } h^{-1}$, maka $(g^{-1}oh^{-1})(4) = 5$.

Jawaban Ringkas: 5