Diketahui fungsi f(x)=(x^2+6)/akar(x). Turunan pertama

Turunan pertama f(x)=(x^2+6)/akar(x) adalah f'(x) = (3x^2 - 6) / (2x^(3/2)).

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = (x^2+6)/akar(x), kita dapat menggunakan aturan pembagian (quotient rule) atau menyederhanakan fungsi terlebih dahulu.

Cara 1: Menggunakan Aturan Pembagian
Aturan pembagian menyatakan bahwa jika f(x) = u(x)/v(x), maka f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2.

Dalam kasus ini, u(x) = x^2 + 6 dan v(x) = akar(x) = x^(1/2).

Cari turunan u(x) dan v(x):
u'(x) = d/dx (x^2 + 6) = 2x
v'(x) = d/dx (x^(1/2)) = (1/2)x^(-1/2) = 1 / (2*akar(x))

Sekarang terapkan aturan pembagian:
f'(x) = [ (2x)(x^(1/2)) - (x^2 + 6)(1 / (2*x^(1/2))) ] / (x^(1/2))^2
f'(x) = [ 2x^(3/2) - (x^2 + 6) / (2*x^(1/2)) ] / x

Untuk menyederhanakan, samakan penyebut pada bagian pembilang:
f'(x) = [ (2x^(3/2) * 2x^(1/2) - (x^2 + 6)) / (2*x^(1/2)) ] / x
f'(x) = [ (4x^2 - x^2 - 6) / (2*x^(1/2)) ] / x
f'(x) = [ (3x^2 - 6) / (2*x^(1/2)) ] / x
f'(x) = (3x^2 - 6) / (2*x^(1/2) * x)
f'(x) = (3x^2 - 6) / (2*x^(3/2))

Cara 2: Menyederhanakan Fungsi Terlebih Dahulu
Ubah f(x) menjadi:
f(x) = (x^2 + 6) / x^(1/2)
f(x) = x^2 / x^(1/2) + 6 / x^(1/2)
f(x) = x^(2 - 1/2) + 6x^(-1/2)
f(x) = x^(3/2) + 6x^(-1/2)

Sekarang cari turunan f(x) menggunakan aturan pangkat:
f'(x) = d/dx (x^(3/2)) + d/dx (6x^(-1/2))
f'(x) = (3/2)x^((3/2) - 1) + 6 * (-1/2)x^((-1/2) - 1)
f'(x) = (3/2)x^(1/2) - 3x^(-3/2)

Untuk menyamakan dengan hasil Cara 1, ubah kembali ke bentuk akar:
f'(x) = (3/2)*akar(x) - 3 / x^(3/2)

Samakan penyebut:
f'(x) = [ (3/2)*akar(x) * (2x^(3/2)) - 3 * 2 ] / (2x^(3/2))
f'(x) = [ 3x^(1/2 + 3/2) - 6 ] / (2x^(3/2))
f'(x) = [ 3x^2 - 6 ] / (2x^(3/2))

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Turunan pertama fungsi f(x) adalah f'(x) = (3x^2 - 6) / (2x^(3/2)) atau f'(x) = (3/2)x^(1/2) - 3x^(-3/2).