Diketahui fungsi g(x) = x^2 - 2x dan (g o f)(x) = x^2 - 10x

f(x) = x - 4 atau f(x) = -x + 6

Pembahasan

Kita diberikan dua fungsi: g(x) = x^2 - 2x dan (g o f)(x) = x^2 - 10x + 24.

Komposisi fungsi (g o f)(x) berarti g(f(x)). Jadi, kita mengganti setiap 'x' dalam fungsi g(x) dengan f(x).

g(f(x)) = (f(x))^2 - 2(f(x))

Kita tahu bahwa g(f(x)) = x^2 - 10x + 24. Maka, kita punya persamaan:
(f(x))^2 - 2(f(x)) = x^2 - 10x + 24

Misalkan y = f(x). Persamaan menjadi:
y^2 - 2y = x^2 - 10x + 24

Untuk menyelesaikan ini, kita perlu melihat apakah sisi kanan persamaan bisa difaktorkan atau diubah menjadi bentuk kuadrat yang berhubungan dengan 'y'.
Perhatikan bahwa y^2 - 2y dapat dilengkapi kuadratnya menjadi (y-1)^2 - 1.
Jadi, (f(x) - 1)^2 - 1 = x^2 - 10x + 24
(f(x) - 1)^2 = x^2 - 10x + 25

Sisi kanan, x^2 - 10x + 25, adalah kuadrat sempurna, yaitu (x - 5)^2.
Jadi, (f(x) - 1)^2 = (x - 5)^2

Ini berarti f(x) - 1 = x - 5 atau f(x) - 1 = -(x - 5).

Kasus 1: f(x) - 1 = x - 5
f(x) = x - 5 + 1
f(x) = x - 4

Mari kita cek jika f(x) = x - 4:
g(f(x)) = g(x - 4) = (x - 4)^2 - 2(x - 4)
= (x^2 - 8x + 16) - (2x - 8)
= x^2 - 8x + 16 - 2x + 8
= x^2 - 10x + 24
Ini sesuai dengan (g o f)(x) yang diberikan.

Kasus 2: f(x) - 1 = -(x - 5)
f(x) - 1 = -x + 5
f(x) = -x + 5 + 1
f(x) = -x + 6

Mari kita cek jika f(x) = -x + 6:
g(f(x)) = g(-x + 6) = (-x + 6)^2 - 2(-x + 6)
= (x^2 - 12x + 36) - (-2x + 12)
= x^2 - 12x + 36 + 2x - 12
= x^2 - 10x + 24
Ini juga sesuai dengan (g o f)(x) yang diberikan.

Jadi, ada dua kemungkinan fungsi f(x) yang memenuhi.
Namun, dalam konteks soal seperti ini, biasanya diasumsikan f(x) adalah fungsi linear dengan koefisien positif untuk x, atau bentuk yang paling sederhana. Jika tidak ada informasi tambahan, kedua jawaban valid.

Jika kita harus memilih satu, f(x) = x - 4 adalah jawaban yang paling umum diasumsikan dalam soal semacam ini jika tidak ada kendala tambahan.