Diketahui fungsi komposisi (g o f)(x)=8x^6+24x^4+20x^2+5

f(x) = 2x^2 + 2

Pembahasan

Diketahui fungsi komposisi (g o f)(x) = g(f(x)) = 8x^6 + 24x^4 + 20x^2 + 5 dan g(x) = x^3 - 2x + 1.  Kita perlu mencari f(x).  Misalkan f(x) = ax^n. Maka, g(f(x)) = (ax^n)^3 - 2(ax^n) + 1 = a^3x^{3n} - 2ax^n + 1.  Kita bandingkan dengan bentuk (g o f)(x) = 8x^6 + 24x^4 + 20x^2 + 5.  Dari perbandingan pangkat tertinggi, kita dapatkan 3n = 6, sehingga n = 2.  Selanjutnya, kita bandingkan koefisien dari x^6: a^3 = 8, sehingga a = 2.  Sekarang kita substitusikan f(x) = 2x^2 ke dalam g(x): g(2x^2) = (2x^2)^3 - 2(2x^2) + 1 = 8x^6 - 4x^2 + 1.  Hasil ini belum sesuai dengan (g o f)(x). Mari kita coba bentuk f(x) yang lain.  Jika kita perhatikan bentuk (g o f)(x), kita bisa menduga bahwa f(x) melibatkan x^2.  Coba kita misalkan f(x) = ax^2 + b. Maka, g(f(x)) = (ax^2+b)^3 - 2(ax^2+b) + 1.  Jika kita coba f(x) = 2x^2, maka g(2x^2) = (2x^2)^3 - 2(2x^2) + 1 = 8x^6 - 4x^2 + 1.  Ini masih belum cocok.  Mari kita kembali ke bentuk g(f(x)) = 8x^6 + 24x^4 + 20x^2 + 5.  Perhatikan bahwa 8x^6 + 24x^4 + 20x^2 + 5 dapat ditulis sebagai (2x^2 + 2)^3 - 2(2x^2+2) + 1 = (8x^6 + 24x^4 + 24x^2 + 8) - 4x^2 - 4 + 1 = 8x^6 + 24x^4 + 20x^2 + 5.  Ini cocok!  Jadi, f(x) = 2x^2 + 2.