Diketahui g(x)=1/(1+3^(1/2-x)). Berapa nilai dari ekspresi

1008

Pembahasan

Kita diberikan fungsi g(x) = 1 / (1 + 3^(1/2 - x)) dan diminta untuk mencari nilai dari ekspresi: S = g(1/2017) + g(2/2017) + ... + g(2016/2017).

Mari kita analisis sifat fungsi g(x). Perhatikan hubungan antara g(x) dan g(1-x):

g(1-x) = 1 / (1 + 3^(1/2 - (1-x)))
g(1-x) = 1 / (1 + 3^(1/2 - 1 + x))
g(1-x) = 1 / (1 + 3^(-1/2 + x))

Sekarang, mari kita lihat jumlah g(x) + g(1-x):

g(x) + g(1-x) = [1 / (1 + 3^(1/2 - x))] + [1 / (1 + 3^(-1/2 + x))]

Untuk menyederhanakan penyebut pada suku kedua, kita bisa menulis ulang 3^(-1/2 + x) sebagai 3^(-1/2) * 3^x atau 1 / 3^(1/2 - x).

g(1-x) = 1 / (1 + 1 / 3^(1/2 - x))
g(1-x) = 1 / [(3^(1/2 - x) + 1) / 3^(1/2 - x)]
g(1-x) = 3^(1/2 - x) / (1 + 3^(1/2 - x))

Sekarang jumlahkan g(x) dan g(1-x):

g(x) + g(1-x) = [1 / (1 + 3^(1/2 - x))] + [3^(1/2 - x) / (1 + 3^(1/2 - x))]
g(x) + g(1-x) = (1 + 3^(1/2 - x)) / (1 + 3^(1/2 - x))
g(x) + g(1-x) = 1

Ini adalah sifat penting: g(x) + g(1-x) = 1.

Sekarang, mari kita lihat ekspresi yang perlu dihitung: S = g(1/2017) + g(2/2017) + ... + g(2016/2017).

Kita bisa mengelompokkan suku-suku dalam bentuk g(a) + g(1-a).
Perhatikan suku-suku dalam penjumlahan: x = k/2017, di mana k berjalan dari 1 sampai 2016.

Jika kita ambil suku pertama g(1/2017), kita pasangkan dengan suku terakhir g(2016/2017).
Perhatikan bahwa 1 - (1/2017) = 2017/2017 - 1/2017 = 2016/2017.
Jadi, g(1/2017) + g(2016/2017) = g(1/2017) + g(1 - 1/2017) = 1.

Selanjutnya, ambil suku kedua g(2/2017), kita pasangkan dengan suku ke-2015 g(2015/2017).
Perhatikan bahwa 1 - (2/2017) = 2017/2017 - 2/2017 = 2015/2017.
Jadi, g(2/2017) + g(2015/2017) = g(2/2017) + g(1 - 2/2017) = 1.

Kita dapat terus melakukan ini. Berapa banyak pasangan yang ada? Ada total 2016 suku.
Jumlah pasangan = 2016 / 2 = 1008 pasangan.

Setiap pasangan berjumlah 1.

Jadi, total jumlahnya adalah jumlah pasangan dikalikan dengan nilai setiap pasangan:
S = 1008 * 1 = 1008.

Namun, ada satu suku di tengah yang perlu diperiksa. Dalam kasus ini, karena jumlah sukunya genap (2016), tidak ada suku tengah yang berdiri sendiri.

Ekspresi lengkapnya adalah:
S = [g(1/2017) + g(2016/2017)] + [g(2/2017) + g(2015/2017)] + ... + [g(1008/2017) + g(1009/2017)]

Perhatikan bahwa 1 - (1008/2017) = (2017 - 1008) / 2017 = 1009 / 2017.
Jadi, pasangan terakhir adalah g(1008/2017) + g(1009/2017) = 1.

Ada 1008 pasangan seperti ini, masing-masing berjumlah 1.

Total = 1008 * 1 = 1008.

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah 1008.