Diketahui g(x)=x+3 dan (fog)(x)=(2x-1)/(x-3), x=/=3. Jika

Nilai a adalah -3.

Pembahasan

Diketahui:
Fungsi g(x) = x + 3
Fungsi komposisi (fog)(x) = (2x - 1) / (x - 3), dengan x ≠ 3
Fungsi invers f⁻¹(a) = 5

Ditanya:
Nilai a

Langkah-langkah penyelesaian:
1.  **Cari bentuk fungsi f(x):**
    Kita tahu bahwa (fog)(x) = f(g(x)).
    Substitusikan g(x) ke dalam f(x):
    f(g(x)) = f(x + 3)
    Karena (fog)(x) = (2x - 1) / (x - 3), maka:
    f(x + 3) = (2x - 1) / (x - 3)
    Untuk menemukan f(x), kita perlu mengganti (x + 3) dengan variabel baru, misalnya 'y'.
    Misalkan y = x + 3, maka x = y - 3.
    Substitusikan x = y - 3 ke dalam persamaan f(x + 3):
    f(y) = (2(y - 3) - 1) / ((y - 3) - 3)
    f(y) = (2y - 6 - 1) / (y - 6)
    f(y) = (2y - 7) / (y - 6)
    Jadi, f(x) = (2x - 7) / (x - 6).

2.  **Cari fungsi invers f⁻¹(x):**
    Untuk mencari f⁻¹(x), misalkan f(x) = y:
    y = (2x - 7) / (x - 6)
    Kalikan kedua sisi dengan (x - 6):
    y(x - 6) = 2x - 7
    yx - 6y = 2x - 7
    Pindahkan semua suku yang mengandung x ke satu sisi dan suku lainnya ke sisi lain:
    yx - 2x = 6y - 7
    Faktorkan x:
    x(y - 2) = 6y - 7
    Bagi kedua sisi dengan (y - 2):
    x = (6y - 7) / (y - 2)
    Jadi, f⁻¹(y) = (6y - 7) / (y - 2).
Ganti variabel y dengan x untuk mendapatkan f⁻¹(x):
f⁻¹(x) = (6x - 7) / (x - 2).

3.  **Gunakan informasi f⁻¹(a) = 5 untuk mencari a:**
    Substitusikan a ke dalam f⁻¹(x):
f⁻¹(a) = (6a - 7) / (a - 2)
    Kita tahu bahwa f⁻¹(a) = 5:
    (6a - 7) / (a - 2) = 5
    Kalikan kedua sisi dengan (a - 2):
    6a - 7 = 5(a - 2)
    6a - 7 = 5a - 10
    Pindahkan suku yang mengandung 'a' ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
    6a - 5a = -10 + 7
    a = -3

Jadi, nilai a adalah -3.