Suku banyak (2x^3+ax^2-bx+3) dibagi (x^2-4) bersisa (x+23).

12

Pembahasan

Kita diberikan sebuah suku banyak $P(x) = 2x^3 + ax^2 - bx + 3$.
Ketika suku banyak ini dibagi oleh $(x^2 - 4)$, sisanya adalah $(x + 23)$.

Kita tahu bahwa $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Menurut Teorema Sisa, jika $P(x)$ dibagi oleh $(x-c)$, sisanya adalah $P(c)$. Jika dibagi oleh $(x-c_1)(x-c_2)$, maka sisa pembagiannya dapat diekspresikan dalam bentuk $Ax+B$. Namun, dalam kasus ini, pembaginya adalah kuadratik, sehingga sisanya bisa berupa linear.

Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan fakta bahwa sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x^2-4)$ adalah $(x+23)$. Ini berarti:
$P(x) = Q(x)(x^2-4) + (x+23)$, di mana $Q(x)$ adalah hasil bagi.

Kita bisa menggunakan akar-akar dari $x^2 - 4 = 0$, yaitu $x=2$ dan $x=-2$.

1.  **Substitusikan $x=2$:**
    $P(2) = Q(2)(2^2-4) + (2+23)$
    $P(2) = Q(2)(4-4) + 25$
    $P(2) = Q(2)(0) + 25$
    $P(2) = 25$

    Sekarang substitusikan $x=2$ ke dalam $P(x) = 2x^3 + ax^2 - bx + 3$:
    $P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 - b(2) + 3$
    $25 = 2(8) + a(4) - 2b + 3$
    $25 = 16 + 4a - 2b + 3$
    $25 = 19 + 4a - 2b$
    $25 - 19 = 4a - 2b$
    $6 = 4a - 2b$
    Bagi kedua sisi dengan 2: $3 = 2a - b$ (Persamaan 1)

2.  **Substitusikan $x=-2$:**
    $P(-2) = Q(-2)((-2)^2-4) + (-2+23)$
    $P(-2) = Q(-2)(4-4) + 21$
    $P(-2) = Q(-2)(0) + 21$
    $P(-2) = 21$

    Sekarang substitusikan $x=-2$ ke dalam $P(x) = 2x^3 + ax^2 - bx + 3$:
    $P(-2) = 2(-2)^3 + a(-2)^2 - b(-2) + 3$
    $21 = 2(-8) + a(4) + 2b + 3$
    $21 = -16 + 4a + 2b + 3$
    $21 = -13 + 4a + 2b$
    $21 + 13 = 4a + 2b$
    $34 = 4a + 2b$
    Bagi kedua sisi dengan 2: $17 = 2a + b$ (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel a dan b:
Persamaan 1: $2a - b = 3$
Persamaan 2: $2a + b = 17$

Untuk mencari nilai $a+b$, kita bisa menyelesaikan sistem persamaan ini. Kita bisa menambahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi 'b':
$(2a - b) + (2a + b) = 3 + 17$
$4a = 20$
$a = 20 / 4$
$a = 5$

Sekarang substitusikan nilai $a=5$ ke salah satu persamaan (misalnya Persamaan 2):
$2(5) + b = 17$
$10 + b = 17$
$b = 17 - 10$
$b = 7$

Jadi, nilai $a=5$ dan $b=7$.

Yang ditanyakan adalah nilai $a+b$:
$a+b = 5 + 7 = 12$.

Jadi, nilai $a+b$ adalah 12.