Nilai limit x mendekati tak

1

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari nilai limit dari fungsi $\sqrt{x(x+2)} - \sqrt{x^2-2}$ ketika x mendekati tak hingga.

Fungsi yang diberikan adalah: $L = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x(x+2)} - \sqrt{x^2-2})$

Langkah pertama adalah menyederhanakan ekspresi di dalam akar:
$x(x+2) = x^2 + 2x$

Sehingga, fungsinya menjadi: $L = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2-2})$

Karena ini adalah bentuk tak tentu $\infty - \infty$, kita dapat mengalikannya dengan bentuk sekawan (conjugate) untuk menyederhanakannya:

Bentuk sekawan dari $(\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2-2})$ adalah $(\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2-2})$.

$L = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} - \sqrt{x^2-2}) \times \frac{\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2-2}}{\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2-2}}$

Menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, pembilangnya menjadi:
$(\sqrt{x^2 + 2x})^2 - (\sqrt{x^2-2})^2 = (x^2 + 2x) - (x^2-2) = x^2 + 2x - x^2 + 2 = 2x + 2$

Sehingga, limitnya menjadi:
$L = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2-2}}$

Sekarang, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (karena $\sqrt{x^2} = x$ untuk x positif):

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 2x}}{x} + \frac{\sqrt{x^2-2}}{x}}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{x^2 + 2x}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2-2}{x^2}}}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x^2}}}$

Ketika $x \to \infty$, maka $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{2}{x^2} \to 0$, dan $\frac{2}{x} \to 0$.

$L = \frac{2 + 0}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}}$

$L = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}$

$L = \frac{2}{1 + 1}$

$L = \frac{2}{2}$

$L = 1$

Jadi, nilai limitnya adalah 1.