Diketahui garis y-n=0 menyinggung lingkaran

10

Pembahasan

Diketahui persamaan garis $y-n=0$ yang menyinggung lingkaran $x^2+y^2-4x-2y-4=0$. Kita perlu mencari nilai $n_1$ dan $n_2$ yang memenuhi, lalu menghitung $n_1+3n_2$ dengan $n_1 < n_2$.

Langkah 1: Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
$x^2 - 4x + y^2 - 2y = 4$
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 + 4 + 1$
$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$
Jadi, pusat lingkaran adalah $(a,b) = (2,1)$ dan jari-jarinya $r=3$.

Langkah 2: Gunakan kondisi garis menyinggung lingkaran.
Persamaan garis adalah $y=n$. Substitusikan $y=n$ ke dalam persamaan lingkaran:
$x^2 + n^2 - 4x - 2n - 4 = 0$
$x^2 - 4x + (n^2 - 2n - 4) = 0$
Agar garis menyinggung lingkaran, persamaan kuadrat dalam x ini harus memiliki tepat satu solusi, yang berarti diskriminannya ($D$) sama dengan nol.
$D = b^2 - 4ac = 0$
Dalam kasus ini, $a=1$, $b=-4$, dan $c = n^2 - 2n - 4$.
$(-4)^2 - 4(1)(n^2 - 2n - 4) = 0$
$16 - 4(n^2 - 2n - 4) = 0$
Bagi kedua sisi dengan 4:
$4 - (n^2 - 2n - 4) = 0$
$4 - n^2 + 2n + 4 = 0$
$-n^2 + 2n + 8 = 0$
Kalikan dengan -1:
$n^2 - 2n - 8 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(n-4)(n+2) = 0$
Jadi, nilai n yang memenuhi adalah $n=4$ atau $n=-2$.

Langkah 3: Tentukan $n_1$ dan $n_2$ serta hitung $n_1+3n_2$.
Karena $n_1 < n_2$, maka $n_1 = -2$ dan $n_2 = 4$.
$n_1 + 3n_2 = -2 + 3(4) = -2 + 12 = 10$.

Alternatif menggunakan jarak titik pusat ke garis singgung sama dengan jari-jari:
Jarak dari titik pusat $(2,1)$ ke garis $y-n=0$ (atau $0x + 1y - n = 0$) adalah:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|0(2) + 1(1) - n|}{\sqrt{0^2+1^2}} = \frac{|1-n|}{\sqrt{1}} = |1-n|$
Karena garis menyinggung lingkaran, jarak ini sama dengan jari-jari ($r=3$):
$|1-n| = 3$
Ini berarti:
$1-n = 3$ atau $1-n = -3$
$-n = 3-1$ atau $-n = -3-1$
$-n = 2$ atau $-n = -4$
$n = -2$ atau $n = 4$

Karena $n_1 < n_2$, maka $n_1 = -2$ dan $n_2 = 4$.
$n_1 + 3n_2 = -2 + 3(4) = -2 + 12 = 10$.