Diketahui gradien garis singgung di titik (x, y) pada

Persamaan kurva adalah y = x^3 - 4x^2 + 5x - 2. Titik (2,0) terbukti terletak pada kurva.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan kurva, kita perlu mengintegralkan gradien dy/dx terhadap x.

dy/dx = 3x^2 - 8x + 5

Integralkan kedua sisi:
y = ∫(3x^2 - 8x + 5) dx
y = x^3 - 4x^2 + 5x + C

Untuk mencari nilai C, kita gunakan informasi bahwa kurva melalui titik (3,4).
Substitusikan x=3 dan y=4 ke dalam persamaan:
4 = (3)^3 - 4(3)^2 + 5(3) + C
4 = 27 - 4(9) + 15 + C
4 = 27 - 36 + 15 + C
4 = 6 + C
C = 4 - 6
C = -2

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = x^3 - 4x^2 + 5x - 2.

Untuk membuktikan bahwa titik (2,0) terletak pada kurva, substitusikan x=2 dan y=0 ke dalam persamaan kurva:
0 = (2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 2
0 = 8 - 4(4) + 10 - 2
0 = 8 - 16 + 10 - 2
0 = 18 - 18
0 = 0

Karena hasil substitusi menghasilkan pernyataan yang benar (0=0), maka terbukti bahwa titik (2,0) terletak pada kurva tersebut.