Daerah yang dibatasi kurva y=x^2-4 dan y=-2 x-4 diputar 360

Perhitungan volume benda putar menghasilkan nilai negatif, yang mengindikasikan kemungkinan kesalahan dalam soal atau asumsi. Perhitungan integral menghasilkan -32π/5.

Pembahasan

Untuk mencari volume benda putar yang terbentuk dari pemutaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2-4 dan y=-2x-4 mengelilingi sumbu x, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Cari titik potong kedua kurva:**
    Atur kedua persamaan sama dengan satu sama lain:
    x^2 - 4 = -2x - 4
    x^2 + 2x = 0
    x(x + 2) = 0
    Jadi, titik potongnya adalah x = 0 dan x = -2.

2.  **Tentukan kurva mana yang di atas:**
    Ambil nilai x di antara -2 dan 0, misalnya x = -1.
    Untuk y = x^2 - 4: y = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3
    Untuk y = -2x - 4: y = -2(-1) - 4 = 2 - 4 = -2
    Karena -2 > -3, maka kurva y = -2x - 4 berada di atas kurva y = x^2 - 4 pada interval [-2, 0].

3.  **Hitung volume menggunakan metode cakram/cincin:**
    Volume (V) dihitung dengan rumus:
    V = π ∫[a, b] ( (R(x))^2 - (r(x))^2 ) dx
    Di mana R(x) adalah fungsi yang di atas dan r(x) adalah fungsi yang di bawah.
    Dalam kasus ini, a = -2, b = 0, R(x) = -2x - 4, dan r(x) = x^2 - 4.

    V = π ∫[-2, 0] ( (-2x - 4)^2 - (x^2 - 4)^2 ) dx
    V = π ∫[-2, 0] ( (4x^2 + 16x + 16) - (x^4 - 8x^2 + 16) ) dx
    V = π ∫[-2, 0] ( 4x^2 + 16x + 16 - x^4 + 8x^2 - 16 ) dx
    V = π ∫[-2, 0] ( -x^4 + 12x^2 + 16x ) dx

4.  **Integralkan fungsi:**
    ∫ ( -x^4 + 12x^2 + 16x ) dx = -x^5/5 + 12x^3/3 + 16x^2/2 = -x^5/5 + 4x^3 + 8x^2

5.  **Evaluasi integral pada batas-batasnya:**
    V = π [ (-x^5/5 + 4x^3 + 8x^2) ] dari -2 sampai 0
    V = π [ (-(0)^5/5 + 4(0)^3 + 8(0)^2) - (-(-2)^5/5 + 4(-2)^3 + 8(-2)^2) ]
    V = π [ 0 - (-(-32)/5 + 4(-8) + 8(4)) ]
    V = π [ - (32/5 - 32 + 32) ]
    V = π [ - 32/5 ]
    Karena volume tidak bisa negatif, ada kesalahan dalam asumsi kurva mana yang di atas atau dalam perhitungan. Mari kita periksa kembali.

    **Perbaikan:**
    Mari kita periksa kembali titik potong dan fungsi mana yang di atas.
    Titik potong: x = -2 dan x = 0.
    Pada x = -1:
    y1 = (-1)^2 - 4 = -3
    y2 = -2(-1) - 4 = -2
    y2 > y1, jadi y = -2x - 4 di atas.

    **Cek ulang perhitungan integral:**
    V = π ∫[-2, 0] ( (-2x - 4)^2 - (x^2 - 4)^2 ) dx
    V = π ∫[-2, 0] ( (4x^2 + 16x + 16) - (x^4 - 8x^2 + 16) ) dx
    V = π ∫[-2, 0] ( -x^4 + 12x^2 + 16x ) dx
    Integral: [-x^5/5 + 4x^3 + 8x^2]
    Evaluasi:
    F(0) = 0
    F(-2) = -(-32)/5 + 4(-8) + 8(4) = 32/5 - 32 + 32 = 32/5
    V = π [ F(0) - F(-2) ] = π [ 0 - 32/5 ] = -32π/5.

    Ada kemungkinan soal tersebut ingin diputar mengelilingi sumbu y, atau ada kesalahan dalam penulisan soalnya, karena hasil volume tidak mungkin negatif.

    Namun, jika kita mengasumsikan bahwa kurva y = x^2 - 4 adalah kurva yang