Diketahui grafik fungsi y=logx dan x^2+a+(a-1)=0. Nilai a

Nilai a dapat berupa bilangan real apa pun.

Pembahasan

Agar grafik fungsi \(y = \log x\) memiliki nilai untuk semua \(x\), maka domain dari fungsi logaritma tersebut harus mencakup semua bilangan real positif. Fungsi \(y = \log x\) secara inheren terdefinisi untuk \(x > 0\).

Untuk persamaan kuadrat \(x^2 + ax + (a-1) = 0\), agar ia memiliki solusi real, diskriminannya harus non-negatif (\(\Delta \ge 0\)).
Diskriminan \(\Delta = b^2 - 4ac\), di mana dalam kasus ini \(a=1\), \(b=a\), dan \(c=(a-1)\).
Maka, \(\Delta = a^2 - 4(1)(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2\).

Agar persamaan kuadrat memiliki solusi real, \((a-2)^2 \ge 0\). Persamaan kuadrat ini selalu memiliki solusi real untuk setiap nilai \(a\) karena kuadrat dari bilangan real selalu non-negatif.

Namun, pertanyaan ini berkaitan dengan grafik \(y = \log x\) dan persamaan kuadrat \(x^2 + ax + (a-1) = 0\) yang dihubungkan dengan suatu nilai \(a\). Asumsi yang paling mungkin dari pertanyaan ini adalah mencari nilai \(a\) sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut berada dalam domain fungsi logaritma, yaitu \(x > 0\).

Jika kita menafsirkan pertanyaan sebagai "nilai \(a\) agar persamaan \(x^2+ax+(a-1)=0\) memiliki akar real yang positif", maka:
1. Diskriminan harus \(\ge 0\): \((a-2)^2 \ge 0\), yang berlaku untuk semua \(a\).
2. Jumlah akar (\(\alpha + \beta\)) harus \(> 0\): \(-a/1 > 0 \implies -a > 0 \implies a < 0\).
3. Hasil kali akar (\(\alpha \beta\)) harus \(> 0\): \((a-1)/1 > 0 \implies a-1 > 0 \implies a > 1\).

Karena kondisi (2) \(a < 0\) dan kondisi (3) \(a > 1\) saling bertentangan, maka tidak ada nilai \(a\) yang membuat kedua akar persamaan kuadrat tersebut positif.

Namun, jika pertanyaan ini memiliki makna lain yang tidak sepenuhnya jelas dari teks, seperti mencari nilai \(a\) agar persamaan kuadrat tersebut memiliki setidaknya satu akar real, maka \((a-2)^2 \ge 0\) berlaku untuk semua \(a\). Jika demikian, jawabannya adalah semua bilangan real.

Mengingat konteks soal UAN, kemungkinan ada interpretasi lain atau kesalahan dalam penulisan soal. Jika kita mengasumsikan pertanyaan mencari nilai \(a\) sehingga persamaan kuadrat memiliki akar real, maka \(a\) bisa bernilai berapapun. Jika kita mengasumsikan semua akar harus positif, tidak ada solusi.

Mari kita coba interpretasi lain: mungkin \(y = \log x\) adalah sebuah grafik dan \(x^2 + ax + (a-1) = 0\) adalah persamaan yang akar-akarnya adalah nilai \(x\) yang dicari.
Jika \(y = \log x\) ada nilainya untuk semua \(x\) dalam konteks ini, itu berarti \(x\) harus positif.
Jadi, kita perlu mencari \(a\) sehingga persamaan \(x^2 + ax + (a-1) = 0\) memiliki akar real.
Seperti yang sudah dihitung, diskriminannya adalah \((a-2)^2\), yang selalu \(\ge 0\) untuk semua \(a\).

Jika maksud soal adalah "Nilai \(a\) sehingga persamaan \(x^2+ax+(a-1)=0\) memiliki akar real untuk \(x\)", maka \(a\) dapat berupa bilangan real apa pun. Namun, jika dikaitkan dengan \(y = \log x\) yang harus terdefinisi, maka akar \(x\) harus positif.

Kesimpulan berdasarkan analisis diskriminan: \((a-2)^2 \ge 0\) untuk semua \(a \in \mathbb{R}\). Jika tidak ada syarat tambahan mengenai sifat akar (selain real), maka nilai \(a\) adalah semua bilangan real.