Diketahui h(theta)=(2+cos theta)/(sin theta). Nilai dari

Nilai h'(π/3) adalah -8/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari h'(π/3) untuk fungsi h(θ) = (2 + cos θ) / (sin θ), kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi h(θ) terlebih dahulu, kemudian mensubstitusikan nilai θ = π/3.

Kita akan menggunakan aturan kuosien untuk turunan: Jika h(θ) = u(θ) / v(θ), maka h'(θ) = [u'(θ)v(θ) - u(θ)v'(θ)] / [v(θ)]²

Dalam kasus ini:
u(θ) = 2 + cos θ
v(θ) = sin θ

Turunan dari u(θ):
u'(θ) = -sin θ

Turunan dari v(θ):
v'(θ) = cos θ

Menggunakan aturan kuosien:
h'(θ) = [(-sin θ)(sin θ) - (2 + cos θ)(cos θ)] / (sin θ)²
h'(θ) = [-sin² θ - (2 cos θ + cos² θ)] / sin² θ
h'(θ) = [-sin² θ - 2 cos θ - cos² θ] / sin² θ

Kita tahu bahwa sin² θ + cos² θ = 1, jadi:
h'(θ) = [- (sin² θ + cos² θ) - 2 cos θ] / sin² θ
h'(θ) = [-1 - 2 cos θ] / sin² θ

Sekarang, kita substitusikan θ = π/3:
cos(π/3) = 1/2
sin(π/3) = √3 / 2

h'(π/3) = [-1 - 2 * (1/2)] / (√3 / 2)²
h'(π/3) = [-1 - 1] / (3 / 4)
h'(π/3) = -2 / (3 / 4)
h'(π/3) = -2 * (4 / 3)
h'(π/3) = -8/3

Jadi, nilai dari h'(π/3) adalah -8/3.