Diketahui x^3-ax^2-10x+24=0 dan x^3+2ax^2-x-30=0, dengan a

Akar bersama adalah 2 dan -3.

Pembahasan

Untuk mencari dua akar bersama dari kedua persamaan polinomial tersebut, kita dapat menggunakan konsep bahwa akar bersama juga merupakan akar dari selisih kedua polinomial tersebut.

Misalkan kedua persamaan tersebut adalah:
P(x) = x^3 - ax^2 - 10x + 24 = 0
Q(x) = x^3 + 2ax^2 - x - 30 = 0

Selisih kedua persamaan: P(x) - Q(x) = (x^3 - ax^2 - 10x + 24) - (x^3 + 2ax^2 - x - 30)
= x^3 - ax^2 - 10x + 24 - x^3 - 2ax^2 + x + 30
= -3ax^2 - 9x + 54 = 0

Kita dapat membagi persamaan selisih dengan -3:
ax^2 + 3x - 18 = 0

Karena a adalah bilangan bulat, kita perlu mencari nilai a sehingga persamaan kuadrat ini memiliki akar yang juga merupakan akar dari P(x) dan Q(x).

Kita bisa mencoba mensubstitusikan faktor-faktor dari konstanta pada P(x) (yaitu 24) atau Q(x) (yaitu -30) ke dalam persamaan ax^2 + 3x - 18 = 0 untuk mencari nilai x yang mungkin.

Misalnya, jika kita coba x = 2:
a(2)^2 + 3(2) - 18 = 0
4a + 6 - 18 = 0
4a - 12 = 0
4a = 12
a = 3

Sekarang, kita substitusikan a = 3 ke dalam kedua persamaan awal:
P(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0
Q(x) = x^3 + 2(3)x^2 - x - 30 = 0  => Q(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30 = 0

Kita cek apakah x = 2 adalah akar dari kedua persamaan tersebut:
P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 10(2) + 24 = 8 - 12 - 20 + 24 = 0
Q(2) = (2)^3 + 6(2)^2 - 2 + 24 = 8 + 24 - 2 + 24 = 54 

Terjadi kesalahan dalam perhitungan atau asumsi. Mari kita kembali ke ax^2 + 3x - 18 = 0 dan cari akar-akarnya terlebih dahulu.

Kita bisa memfaktorkan persamaan ax^2 + 3x - 18 = 0. Jika kita asumsikan a=3, maka menjadi 3x^2 + 3x - 18 = 0, yang bisa dibagi 3 menjadi x^2 + x - 6 = 0. Faktornya adalah (x+3)(x-2) = 0. Jadi akar-akarnya adalah x = 2 dan x = -3.

Sekarang kita cek apakah x=2 dan x=-3 adalah akar bersama untuk a=3:
P(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0
P(2) = 8 - 12 - 20 + 24 = 0
P(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + 24 = -27 - 27 + 30 + 24 = 0

Q(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30 = 0
Q(2) = 8 + 6(4) - 2 - 30 = 8 + 24 - 2 - 30 = 0
Q(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 - (-3) - 30 = -27 + 6(9) + 3 - 30 = -27 + 54 + 3 - 30 = 0

Karena x=2 dan x=-3 adalah akar dari kedua persamaan ketika a=3, maka dua akar bersama tersebut adalah 2 dan -3.