Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 1 cm, titik

3/2 cm (terdapat ketidaksesuaian dengan jawaban $\sqrt{37}/2$ pada soal asli)

Pembahasan

Jarak dari titik A ke K adalah $\sqrt{37}/2$ cm. Penjelasannya: Misalkan panjang rusuk kubus adalah $s = 1$ cm. Titik A berada pada koordinat (0, 0, 0). Titik K adalah titik tengah HG. Koordinat titik H adalah (0, 1, 1) dan G adalah (1, 1, 1). Maka koordinat titik K adalah $(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1/2, 1, 1)$. Jarak dari titik A ke K dihitung menggunakan rumus jarak dalam ruang tiga dimensi: $AK = \sqrt{(x_K-x_A)^2 + (y_K-y_A)^2 + (z_K-z_A)^2}$. $AK = \sqrt{(1/2-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 1 + 1} = \sqrt{1/4 + 8/4} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Namun, jika kita mengikuti konvensi penamaan kubus dimana ABCD adalah alas dan EFGH adalah tutup, dengan A di (0,0,0), B di (1,0,0), D di (0,1,0), H di (0,1,1), maka G di (1,1,1). K di tengah HG akan memiliki koordinat (1/2, 1, 1). Maka jarak AK adalah $\sqrt{(1/2-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2} = \sqrt{1/4+1+1} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Jika K terletak di tengah rusuk HG, maka koordinatnya adalah (1/2, 1, 1). Jarak AK = $\sqrt{(1/2-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1/4+1+1} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Jika K terletak di tengah rusuk EH, maka koordinatnya adalah (0, 1, 1/2). Jarak AK = $\sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{0+1+1/4} = \sqrt{5/4} = \sqrt{5}/2$. Jika K terletak di tengah rusuk FG, maka koordinatnya adalah (1, 1, 1/2). Jarak AK = $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1+1+1/4} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Jika K terletak di tengah rusuk CG, maka koordinatnya adalah (1, 0, 1/2). Jarak AK = $\sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1+0+1/4} = \sqrt{5/4} = \sqrt{5}/2$. Jika K terletak di tengah rusuk BC, maka koordinatnya adalah (1/2, 0, 0). Jarak AK = $\sqrt{(1/2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1/4} = 1/2$. Jika K terletak di tengah rusuk BF, maka koordinatnya adalah (0, 1/2, 0). Jarak AK = $\sqrt{(0-0)^2 + (1/2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1/4} = 1/2$. Jika K terletak di tengah rusuk DH, maka koordinatnya adalah (0, 1, 0). Jarak AK = $\sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1} = 1$. Jika K terletak di tengah rusuk CD, maka koordinatnya adalah (1/2, 0, 0). Jarak AK = 1/2. Jika K terletak di tengah rusuk GH, maka koordinat K adalah (1/2, 1, 1). Jarak AK = $\sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1/4+1+1} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Terdapat kesalahan dalam soal, karena panjang rusuk adalah 1 cm, namun jawaban yang diberikan adalah $\sqrt{37}/2$. Mari kita asumsikan panjang rusuk adalah 6 cm. Maka K di tengah HG adalah (3, 6, 6). Jarak AK = $\sqrt{(3-0)^2 + (6-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{9+36+36} = \sqrt{81} = 9$. Jika K di tengah EF, maka K adalah (3, 3, 6). Jarak AK = $\sqrt{3^2+3^2+6^2} = \sqrt{9+9+36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$. Jika K di tengah EH, maka K adalah (0, 3, 3). Jarak AK = $\sqrt{0^2+3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Jika K di tengah FG, maka K adalah (6, 3, 3). Jarak AK = $\sqrt{6^2+3^2+3^2} = \sqrt{36+9+9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$. Jika K di tengah AD, maka K adalah (0, 3, 0). Jarak AK = $\sqrt{0^2+3^2+0^2} = 3$. Jika K di tengah BC, maka K adalah (3, 0, 0). Jarak AK = $\sqrt{3^2+0^2+0^2} = 3$. Jika K di tengah AB, maka K adalah (3, 0, 0). Jarak AK = 3. Jika K di tengah DC, maka K adalah (3, 0, 0). Jarak AK = 3. Jika K di tengah BF, maka K adalah (0, 0, 3). Jarak AK = $\sqrt{0^2+0^2+3^2} = 3$. Jika K di tengah CG, maka K adalah (3, 0, 3). Jarak AK = $\sqrt{3^2+0^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Jika K di tengah DH, maka K adalah (0, 0, 3). Jarak AK = 3. Jika K di tengah AE, maka K adalah (0, 0, 3). Jarak AK = 3. Jika K di tengah EFGH, maka K adalah (3, 3, 6). Jarak AK = $3\sqrt{6}$. Revisi Soal: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, titik K terletak di tengah-tengah bidang EFGH. Jarak dari titik A ke K adalah .... Maka K adalah titik tengah EFGH, yaitu $(3,3,6)$. Jarak AK = $\sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{9+9+36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$. Jawaban $\sqrt{37}/2$ tidak sesuai dengan soal kubus dengan rusuk 1 cm. Mari kita cari panjang rusuk agar jaraknya $\sqrt{37}/2$. Jika K di tengah HG, maka K = (s/2, s, s). Jarak AK = $\sqrt{(s/2)^2 + s^2 + s^2} = \sqrt{s^2/4 + 2s^2} = \sqrt{9s^2/4} = 3s/2$. Jika $3s/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37}/3$. Jika K di tengah EH, maka K = (0, s, s/2). Jarak AK = $\sqrt{0^2 + s^2 + (s/2)^2} = \sqrt{s^2 + s^2/4} = \sqrt{5s^2/4} = s\sqrt{5}/2$. Jika $s\sqrt{5}/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37/5}$. Jika K di tengah FG, maka K = (s, s/2, s). Jarak AK = $\sqrt{s^2 + (s/2)^2 + s^2} = \sqrt{2s^2 + s^2/4} = \sqrt{9s^2/4} = 3s/2$. Jika $3s/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37}/3$. Jika K di tengah EF, maka K = (s/2, s/2, s). Jarak AK = $\sqrt{(s/2)^2 + (s/2)^2 + s^2} = \sqrt{s^2/4 + s^2/4 + s^2} = \sqrt{s^2/2 + s^2} = \sqrt{3s^2/2} = s\sqrt{3/2}$. Jika $s\sqrt{3/2} = \sqrt{37}/2$, maka $s^2 (3/2) = 37/4$, $s^2 = (37/4) * (2/3) = 37/6$, $s = \sqrt{37/6}$. Jika K di tengah AD, maka K = (0, s/2, 0). Jarak AK = $\sqrt{0^2 + (s/2)^2 + 0^2} = s/2$. Jika $s/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37}$. Jika K di tengah BC, maka K = (s, s/2, 0). Jarak AK = $\sqrt{s^2 + (s/2)^2 + 0^2} = \sqrt{s^2 + s^2/4} = \sqrt{5s^2/4} = s\sqrt{5}/2$. Jika $s\sqrt{5}/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37/5}$. Jika K di tengah AB, maka K = (s/2, 0, 0). Jarak AK = $\sqrt{(s/2)^2} = s/2$. Jika $s/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37}$. Jika K di tengah DC, maka K = (s/2, 0, 0). Jarak AK = s/2. Jika $s/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37}$. Jika K di tengah AE, maka K = (0, 0, s/2). Jarak AK = s/2. Jika $s/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37}$. Jika K di tengah BF, maka K = (0, s/2, 0). Jarak AK = s/2. Jika $s/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37}$. Jika K di tengah CG, maka K = (s, 0, s/2). Jarak AK = $\sqrt{s^2 + 0^2 + (s/2)^2} = \sqrt{s^2 + s^2/4} = s\sqrt{5}/2$. Jika $s\sqrt{5}/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37/5}$. Jika K di tengah DH, maka K = (0, s, 0). Jarak AK = $\sqrt{0^2 + s^2 + 0^2} = s$. Jika $s = \sqrt{37}/2$. Jika K di tengah diagonal ruang AG, maka K = (s/2, s/2, s/2). Jarak AK = $\sqrt{(s/2)^2 + (s/2)^2 + (s/2)^2} = \sqrt{3s^2/4} = s\sqrt{3}/2$. Jika $s\sqrt{3}/2 = \sqrt{37}/2$, maka $s = \sqrt{37/3}$. Kesimpulan: Soal ini kemungkinan memiliki kesalahan pada panjang rusuk atau pada jawaban yang diberikan. Jika kita mengasumsikan panjang rusuk adalah 6 cm dan K adalah titik tengah rusuk HG, maka jarak AK = 9 cm. Jika kita mengasumsikan panjang rusuk adalah 6 cm dan K adalah titik tengah bidang ADHE, maka K = (0, 3, 0) dan jarak AK = 3 cm. Jika K adalah titik tengah diagonal AG, maka K = (3,3,3) dan jarak AK = $\sqrt{3^2+3^2+3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. Dengan panjang rusuk 1 cm, dan K di tengah HG, maka jarak AK = 3/2 cm. Jika K adalah titik tengah EH, jarak AK = $\sqrt{5}/2$ cm. Jika K adalah titik tengah AD, jarak AK = 1/2 cm. Jika K adalah titik tengah AE, jarak AK = 1/2 cm. Mengingat pilihan jawaban yang umum dalam soal matematika, kemungkinan besar K berada di tengah salah satu bidang atau rusuk. Jika kita harus memilih jawaban terdekat dengan salah satu perhitungan di atas, dan mengabaikan panjang rusuk 1 cm, serta fokus pada bentuk $\sqrt{37}/2$, kita perlu mencari konfigurasi yang menghasilkan $\sqrt{37}$ di pembilang. Misalnya, jika jarak horizontal adalah 1 dan vertikal adalah 6, kuadrat jaraknya adalah $1^2+6^2 = 37$. Ini bisa terjadi jika K adalah titik pada bidang EFGH yang berjarak 1 dari garis EH dan berjarak 6 dari bidang ABCD. Misal K adalah titik (1, 6, 3) jika panjang rusuk adalah 6. Atau jika rusuknya adalah $\sqrt{37}$, dan K di tengah AD, maka jaraknya $\sqrt{37}/2$. Tapi ini tidak sesuai dengan kubus. Dengan asumsi ada kesalahan ketik pada soal dan seharusnya panjang rusuk adalah $\sqrt{37}$ dan K terletak di tengah AD atau AE atau BF atau BC, maka jaraknya $\sqrt{37}/2$. Namun, berdasarkan soal yang diberikan (rusuk 1 cm, K di tengah HG), jaraknya adalah 3/2 cm. Jika kita mengasumsikan panjang rusuk adalah $\sqrt{37}$, dan K di tengah AD, maka AK = $\sqrt{37}/2$. Ini sangat spekulatif. Mari kita coba pendekatan lain. Misalkan A=(0,0,0). Karena rusuknya 1, H=(0,1,1), G=(1,1,1). K adalah titik tengah HG, K = ( (0+1)/2, (1+1)/2, (1+1)/2 ) = (1/2, 1, 1). Jarak AK = $\sqrt{(1/2-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1/4 + 1 + 1} = \sqrt{1/4 + 8/4} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Jawaban $\sqrt{37}/2$ tidak konsisten dengan soal. Saya akan memberikan jawaban berdasarkan perhitungan yang paling masuk akal dengan rusuk 1 cm, yaitu 3/2 cm, dan menyatakan bahwa jawaban yang diberikan ($\sqrt{37}/2$) kemungkinan berasal dari soal yang berbeda.