Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak

Jarak titik A ke bidang CFH adalah 20√3 / 3 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik A ke bidang CFH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang.

Misalkan kubus memiliki titik A di (0,0,0). Maka:
B = (10,0,0)
C = (10,10,0)
D = (0,10,0)
E = (0,0,10)
F = (10,0,10)
G = (10,10,10)
H = (0,10,10)

Bidang CFH dibentuk oleh titik C(10,10,0), F(10,0,10), dan H(0,10,10).

Kita bisa mencari persamaan bidang CFH. Vektor normal bidang dapat ditemukan dengan produk silang dari dua vektor yang terletak pada bidang, misalnya vektor CF dan vektor CH.

CF = F - C = (10-10, 0-10, 10-0) = (0, -10, 10)
CH = H - C = (0-10, 10-10, 10-0) = (-10, 0, 10)

Vektor normal (n) = CF × CH
n =  | i   j   k  |
    | 0  -10  10 |
    | -10 0   10 |

n = i((-10)(10) - (10)(0)) - j((0)(10) - (10)(-10)) + k((0)(0) - (-10)(-10))
n = i(-100 - 0) - j(0 - (-100)) + k(0 - 100)
n = -100i - 100j - 100k

Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (-1, -1, -1) atau (1, 1, 1).

Persamaan bidang CFH adalah ax + by + cz = d. Menggunakan normal (1, 1, 1) dan titik C(10,10,0):
1(10) + 1(10) + 1(0) = d
10 + 10 + 0 = d
d = 20

Jadi, persamaan bidang CFH adalah x + y + z = 20.

Sekarang kita hitung jarak dari titik A(0,0,0) ke bidang x + y + z - 20 = 0.
Rumus jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A² + B² + C²)

Dalam kasus ini, (x0, y0, z0) = (0,0,0), A=1, B=1, C=1, D=-20.

Jarak = |1(0) + 1(0) + 1(0) - 20| / sqrt(1² + 1² + 1²)
Jarak = |-20| / sqrt(1 + 1 + 1)
Jarak = 20 / sqrt(3)

Untuk merasionalkan penyebut:
Jarak = (20 * √3) / (√3 * √3)
Jarak = 20√3 / 3 cm.

Metode Alternatif (menggunakan proyeksi):
Bidang CFH adalah bidang diagonal. Jarak dari A ke bidang CFH sama dengan tinggi tetrahedron AFCH jika alasnya adalah segitiga CFH.

Cara lain yang lebih sederhana adalah dengan melihat bahwa bidang CFH memotong diagonal ruang AG. Jarak titik ke bidang diagonal bisa dihitung dengan proyeksi.

Perhatikan bidang CFH. Bidang ini memotong kubus sedemikian rupa sehingga titik A, B, D, E berada di satu sisi bidang, dan titik G berada di sisi lain.

Bidang CFH tegak lurus terhadap bidang diagonal BCHE dan DCHE.

Jarak titik A ke bidang CFH adalah jarak proyeksi titik A ke garis yang tegak lurus terhadap bidang CFH dan melalui A. Garis ini adalah garis yang sejajar dengan vektor normal bidang CFH.

Perhatikan bahwa bidang CFH memotong rusuk AD, AB, AE di titik-titik yang membentuk segitiga sama sisi jika dilihat dari sudut pandang tertentu.

Sebenarnya, jarak dari titik A ke bidang CFH dapat dihitung dengan mencari proyeksi titik A pada garis normal bidang CFH yang melewati A.

Cara lain yang sering digunakan untuk soal ini adalah dengan melihat simetri atau menggunakan konsep proyeksi yang lebih geometris.

Bidang CFH adalah bidang yang memotong kubus. Jarak dari A ke bidang CFH.

Jika kita memandang dari arah diagonal ruang AG, bidang CFH akan terlihat sebagai garis.

Misalkan kita gunakan vektor. Vektor normal bidang CFH adalah (1,1,1). Proyeksi vektor AO (dimana O adalah titik asal) pada vektor normal adalah nol. Kita butuh proyeksi A ke bidang.

Jika kita pertimbangkan diagonal ruang AG, panjangnya adalah s√3 = 10√3. Titik A adalah salah satu ujung diagonal ruang.

Jarak titik ke bidang pada kubus seringkali melibatkan teorema Pythagoras atau proyeksi.

Perhatikan bahwa bidang CFH memotong rusuk-rusuk kubus. Jarak A ke bidang CFH.

Bidang CFH melalui C(10,10,0), F(10,0,10), H(0,10,10).

Jarak titik A(0,0,0) ke bidang CFH.

Titik yang paling dekat dengan A pada bidang CFH adalah titik P, di mana AP tegak lurus bidang CFH.

Perhatikan bidang yang tegak lurus terhadap bidang CFH dan melalui A. Garis normal bidang CFH adalah (1,1,1).

Kita bisa memproyeksikan titik A ke bidang tersebut.

Cara lain adalah dengan menghitung volume tetrahedron A-CFH dan membaginya dengan luas alas segitiga CFH.
Luas alas segitiga CFH:
Panjang CF = √((10-10)² + (0-10)² + (10-0)²) = √(0 + 100 + 100) = √200 = 10√2
Panjang CH = √((0-10)² + (10-10)² + (10-0)²) = √(100 + 0 + 100) = √200 = 10√2
Panjang FH = √((0-10)² + (10-0)² + (10-10)²) = √(100 + 100 + 0) = √200 = 10√2
Segitiga CFH adalah segitiga sama sisi dengan sisi 10√2.
Luas segitiga CFH = (√3 / 4) * sisi² = (√3 / 4) * (10√2)² = (√3 / 4) * 200 = 50√3 cm².

Volume tetrahedron A-CFH.
Kita bisa gunakan rumus volume dengan koordinat: 1/6 | det( vektor AC, vektor AF, vektor AH ) |
AC = (10,10,0)
AF = (10,0,10)
AH = (0,10,10)

Volume = 1/6 | det( | 10 10 0 |
                  | 10  0 10 |
                  |  0 10 10 | )
Volume = 1/6 | 10(0*10 - 10*10) - 10(10*10 - 10*0) + 0 |
Volume = 1/6 | 10(-100) - 10(100) |
Volume = 1/6 | -1000 - 1000 |
Volume = 1/6 | -2000 |
Volume = 2000 / 6 = 1000 / 3 cm³.

Jarak = 3 * Volume / Luas Alas
Jarak = 3 * (1000/3) / (50√3)
Jarak = 1000 / (50√3)
Jarak = 20 / √3
Jarak = 20√3 / 3 cm.

Jawaban ini konsisten dengan metode rumus jarak titik ke bidang.