Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 2 akar(2)

Akar dari 17 cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 2 akar(2) cm. Titik P di tengah AB dan titik Q di tengah BC. Kita perlu mencari jarak antara titik H dan garis PQ.

1. Tentukan koordinat titik-titik:
   Misalkan A = (0, 0, 0), B = (2√2, 0, 0), C = (2√2, 2√2, 0), D = (0, 2√2, 0)
   E = (0, 0, 2√2), F = (2√2, 0, 2√2), G = (2√2, 2√2, 2√2), H = (0, 2√2, 2√2)
   P = tengah AB = (√2, 0, 0)
   Q = tengah BC = (2√2, √2, 0)

2. Cari vektor PQ:
   PQ = Q - P = (2√2 - √2, √2 - 0, 0 - 0) = (√2, √2, 0)

3. Cari vektor HP:
   HP = P - H = (√2 - 0, 0 - 2√2, 0 - 2√2) = (√2, -2√2, -2√2)

4. Hitung proyeksi vektor HP pada vektor PQ:
   Proyeksi HP pada PQ = ((HP · PQ) / |PQ|^2) * PQ
   HP · PQ = (√2)(√2) + (-2√2)(√2) + (-2√2)(0) = 2 - 4 + 0 = -2
   |PQ|^2 = (√2)^2 + (√2)^2 + 0^2 = 2 + 2 = 4
   Proyeksi = (-2 / 4) * (√2, √2, 0) = -1/2 * (√2, √2, 0) = (-√2/2, -√2/2, 0)

5. Cari vektor yang tegak lurus PQ dari H:
   Vektor tegak lurus = HP - Proyeksi HP pada PQ
   = (√2, -2√2, -2√2) - (-√2/2, -√2/2, 0)
   = (√2 + √2/2, -2√2 + √2/2, -2√2 - 0)
   = (3√2/2, -3√2/2, -2√2)

6. Hitung jaraknya (panjang vektor tegak lurus):
   Jarak = |(3√2/2, -3√2/2, -2√2)|
   = sqrt((3√2/2)^2 + (-3√2/2)^2 + (-2√2)^2)
   = sqrt((18/4) + (18/4) + 8)
   = sqrt(9/2 + 9/2 + 8)
   = sqrt(9 + 8)
   = sqrt(17)