Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jika P

Jarak titik D ke garis PH adalah (8√5)/3 cm.

Pembahasan

Untuk menghitung jarak titik D ke garis PH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm dan P titik tengah BC:
1. **Posisikan Kubus dalam Sistem Koordinat**: Misalkan D = (0,0,0), A = (8,0,0), C = (0,8,0), H = (0,8,8).
   Karena P adalah titik tengah BC, maka P = (0, 8/2, 0) = (0, 4, 0).
   Titik H = (0, 8, 8).

2. **Persamaan Garis PH**: 
   Vektor arah garis PH = H - P = (0-0, 8-4, 8-0) = (0, 4, 8).
   Persamaan parametrik garis PH: 
   x = 0 + 0t = 0
   y = 4 + 4t
   z = 0 + 8t

3. **Hitung Jarak Titik ke Garis**: Jarak titik D(0,0,0) ke garis PH dapat dihitung menggunakan rumus:
   Jarak = || (P - D) x V || / || V ||
   di mana P adalah titik pada garis (misalnya P=(0,4,0)), D adalah titik di luar garis, V adalah vektor arah garis PH (0,4,8).

   Vektor (P - D) = (0-0, 4-0, 0-0) = (0, 4, 0).

   Hitung hasil kali silang (P - D) x V:
   (0, 4, 0) x (0, 4, 8) = |
     i    j    k
     0    4    0
     0    4    8
   |
   = i(4*8 - 0*4) - j(0*8 - 0*0) + k(0*4 - 4*0)
   = i(32) - j(0) + k(0)
   = (32, 0, 0)

   || (P - D) x V || = √(32² + 0² + 0²) = 32.

   Hitung || V ||:
   || V || = √(0² + 4² + 8²) = √(0 + 16 + 64) = √80 = √(16 * 5) = 4√5.

   Jarak = 32 / (4√5) = 8 / √5 = (8√5) / 5.

**Metode Alternatif (Geometri)**:
Misalkan kita proyeksikan titik D ke bidang BCGF. Proyeksi D pada bidang BCGF adalah titik C. Namun, kita perlu jarak ke garis PH.

Cara lain: Cari titik Q pada garis PH sehingga DQ tegak lurus PH. PQ = (x,y,z) pada garis PH. Vektor PQ = (0, 4+4t, 8t).
DQ = Q - D = (0, 4+4t, 8t).
DQ tegak lurus PH berarti DQ · PH = 0.
(0, 4+4t, 8t) · (0, 4, 8) = 0
0*0 + (4+4t)*4 + (8t)*8 = 0
16 + 16t + 64t = 0
16 + 80t = 0
80t = -16
t = -16/80 = -1/5.

Koordinat titik Q: 
x = 0
y = 4 + 4(-1/5) = 4 - 4/5 = 16/5
z = 8(-1/5) = -8/5
Q = (0, 16/5, -8/5)

Jarak DQ = √((0-0)² + (16/5-0)² + (-8/5-0)²)
= √(0 + 256/25 + 64/25)
= √(320/25)
= √(64 * 5 / 25)
= (8√5) / 5.

Kesalahan dalam koordinat atau metode. Mari kita tinjau ulang.

Ulangi dengan D=(0,0,0), A=(8,0,0), B=(8,8,0), C=(0,8,0), H=(0,8,8).
P titik tengah BC. B=(8,8,0), C=(0,8,0). P = ((8+0)/2, (8+8)/2, (0+0)/2) = (4, 8, 0).
H = (0,8,8).

Vektor arah PH = H - P = (0-4, 8-8, 8-0) = (-4, 0, 8).
Titik P = (4, 8, 0).
Titik D = (0, 0, 0).

Vektor (P - D) = (4, 8, 0).

Hasil kali silang (P - D) x PH:
(4, 8, 0) x (-4, 0, 8) = |
  i    j    k
  4    8    0
 -4    0    8
|
= i(8*8 - 0*0) - j(4*8 - 0*(-4)) + k(4*0 - 8*(-4))
= i(64) - j(32) + k(32)
= (64, -32, 32)

|| (P - D) x PH || = √(64² + (-32)² + 32²) = √(4096 + 1024 + 1024) = √6144
√6144 = √(1024 * 6) = 32√6.

|| PH || = √((-4)² + 0² + 8²) = √(16 + 0 + 64) = √80 = 4√5.

Jarak = || (P - D) x PH || / || PH || = (32√6) / (4√5) = (8√6) / √5 = (8√30) / 5.

Mari kita cek dengan metode proyeksi titik P ke bidang ADHE, lalu cari jarak ke garis DH.

Kembali ke soal: kubus ABCD.EFGH, rusuk 8 cm, P titik tengah BC. Jarak D ke garis PH.

Koordinat:
D=(0,0,0)
C=(8,0,0)
B=(8,8,0)
P = titik tengah BC = ( (8+8)/2, (0+8)/2, (0+0)/2 ) = (8, 4, 0).
H = (0, 8, 8).

Vektor PH = H - P = (0-8, 8-4, 8-0) = (-8, 4, 8).
Titik P = (8, 4, 0).
Titik D = (0, 0, 0).

Vektor PD = D - P = (0-8, 0-4, 0-0) = (-8, -4, 0).

Hasil kali silang PD x PH:
(-8, -4, 0) x (-8, 4, 8) = |
  i    j    k
 -8   -4    0
 -8    4    8
|
= i((-4)*8 - 0*4) - j((-8)*8 - 0*(-8)) + k((-8)*4 - (-4)*(-8))
= i(-32) - j(-64) + k(-32 - 32)
= i(-32) - j(-64) + k(-64)
= (-32, 64, -64)

|| PD x PH || = √((-32)² + 64² + (-64)²) = √(1024 + 4096 + 4096) = √9216
√9216 = 96.

|| PH || = √((-8)² + 4² + 8²) = √(64 + 16 + 64) = √144 = 12.

Jarak = || PD x PH || / || PH || = 96 / 12 = 8.

Mari kita verifikasi ulang dengan penempatan koordinat yang berbeda agar lebih intuitif.
D = (0,0,0)
A = (8,0,0)
B = (8,8,0)
C = (0,8,0)
H = (0,8,8)

P titik tengah BC. B=(8,8,0), C=(0,8,0). P = (4,8,0).
H=(0,8,8).

Vektor PH = H - P = (0-4, 8-8, 8-0) = (-4, 0, 8).
Titik P = (4, 8, 0).
Titik D = (0, 0, 0).

Vektor PD = D - P = (0-4, 0-8, 0-0) = (-4, -8, 0).

Hasil kali silang PD x PH:
(-4, -8, 0) x (-4, 0, 8) = |
  i    j    k
 -4   -8    0
 -4    0    8
|
= i((-8)*8 - 0*0) - j((-4)*8 - 0*(-4)) + k((-4)*0 - (-8)*(-4))
= i(-64) - j(-32) + k(-32)
= (-64, 32, -32)

|| PD x PH || = √((-64)² + 32² + (-32)²) = √(4096 + 1024 + 1024) = √6144 = 32√6.

|| PH || = √((-4)² + 0² + 8²) = √(16 + 0 + 64) = √80 = 4√5.

Jarak = || PD x PH || / || PH || = (32√6) / (4√5) = 8√6 / √5 = (8√30) / 5.

Penempatan koordinat yang benar:
D=(0,0,0)
A=(8,0,0)
B=(8,8,0)
C=(0,8,0)
E=(8,0,8)
F=(8,8,8)
G=(0,8,8)
H=(0,0,8)

P titik tengah BC. B=(8,8,0), C=(0,8,0). P = (4,8,0).
H=(0,0,8).

Vektor PH = H - P = (0-4, 0-8, 8-0) = (-4, -8, 8).
Titik P = (4, 8, 0).
Titik D = (0, 0, 0).

Vektor PD = D - P = (0-4, 0-8, 0-0) = (-4, -8, 0).

Hasil kali silang PD x PH:
(-4, -8, 0) x (-4, -8, 8) = |
  i    j    k
 -4   -8    0
 -4   -8    8
|
= i((-8)*8 - 0*(-8)) - j((-4)*8 - 0*(-4)) + k((-4)*(-8) - (-8)*(-4))
= i(-64) - j(-32) + k(32 - 32)
= i(-64) - j(-32) + k(0)
= (-64, 32, 0)

|| PD x PH || = √((-64)² + 32² + 0²) = √(4096 + 1024) = √5120 = √(1024 * 5) = 32√5.

|| PH || = √((-4)² + (-8)² + 8²) = √(16 + 64 + 64) = √144 = 12.

Jarak = || PD x PH || / || PH || = (32√5) / 12 = (8√5) / 3.