Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm 3 cm

3 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak garis DE ke garis CF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm, kita perlu memvisualisasikan kubus dan posisi kedua garis tersebut.

Misalkan kubus memiliki titik-titik sebagai berikut:
A = (0, 0, 0)
B = (3, 0, 0)
C = (3, 3, 0)
D = (0, 3, 0)
E = (0, 0, 3)
F = (3, 0, 3)
G = (3, 3, 3)
H = (0, 3, 3)

Garis DE memiliki vektor arah yang sama dengan vektor $\vec{DE}$.
$\vec{DE} = E - D = (0, 0, 3) - (0, 3, 0) = (0, -3, 3)$
Titik pada garis DE dapat direpresentasikan sebagai $D + t\vec{DE} = (0, 3, 0) + t(0, -3, 3) = (0, 3-3t, 3t)$.

Garis CF memiliki vektor arah yang sama dengan vektor $\vec{CF}$.
$\vec{CF} = F - C = (3, 0, 3) - (3, 3, 0) = (0, -3, 3)$
Titik pada garis CF dapat direpresentasikan sebagai $C + s\vec{CF} = (3, 3, 0) + s(0, -3, 3) = (3, 3-3s, 3s)$.

Perhatikan bahwa vektor arah kedua garis tersebut adalah sama: $(0, -3, 3)$. Ini berarti garis DE dan CF adalah sejajar.

Jarak antara dua garis sejajar dapat dihitung dengan mengambil satu titik pada salah satu garis dan menghitung jarak tegak lurusnya ke garis lainnya. Atau, kita bisa menggunakan rumus jarak antara dua garis sejajar.

Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari jarak antara titik C (atau F) ke garis DE.

Ambil titik C = (3, 3, 0) pada garis CF.
Vektor dari D ke C adalah $\vec{DC} = C - D = (3, 3, 0) - (0, 3, 0) = (3, 0, 0)$.
Vektor arah garis DE adalah $\vec{v} = (0, -3, 3)$.

Jarak tegak lurus dari titik C ke garis DE diberikan oleh:
$Jarak = \frac{|\vec{DC} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

Hitung hasil kali silang $\vec{DC} \times \vec{v}$:
$\vec{DC} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \end{vmatrix}$
$= i(0*3 - 0*(-3)) - j(3*3 - 0*0) + k(3*(-3) - 0*0)$
$= i(0) - j(9) + k(-9)$
$= (0, -9, -9)$

Hitung magnitudo dari hasil kali silang:
$|\vec{DC} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-9)^2 + (-9)^2}$
$= \sqrt{0 + 81 + 81}$
$= \sqrt{162}$
$= \sqrt{81 * 2}$
$= 9\sqrt{2}$

Hitung magnitudo dari vektor arah $\vec{v}$:
$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2}$
$= \sqrt{0 + 9 + 9}$
$= \sqrt{18}$
$= \sqrt{9 * 2}$
$= 3\sqrt{2}$

Hitung jaraknya:
$Jarak = \frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$
$Jarak = 3$

Alternatif: Jarak antara garis DE dan CF adalah sama dengan jarak antara titik D (atau E) ke garis CF.
Ambil titik D = (0, 3, 0) pada garis DE.
Vektor dari C ke D adalah $\vec{CD} = D - C = (0, 3, 0) - (3, 3, 0) = (-3, 0, 0)$.
Vektor arah garis CF adalah $\vec{w} = (0, -3, 3)$.

Jarak tegak lurus dari titik D ke garis CF diberikan oleh:
$Jarak = \frac{|\vec{CD} \times \vec{w}|}{|\vec{w}|}$

Hitung hasil kali silang $\vec{CD} \times \vec{w}$:
$\vec{CD} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 3 \end{vmatrix}$
$= i(0*3 - 0*(-3)) - j((-3)*3 - 0*0) + k((-3)*(-3) - 0*0)$
$= i(0) - j(-9) + k(9)$
$= (0, 9, 9)$

Hitung magnitudo dari hasil kali silang:
$|\vec{CD} \times \vec{w}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + 9^2}$
$= \sqrt{0 + 81 + 81}$
$= \sqrt{162}$
$= 9\sqrt{2}$

Hitung magnitudo dari vektor arah $\vec{w}$:
$|\vec{w}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2}$
$= \sqrt{0 + 9 + 9}$
$= \sqrt{18}$
$= 3\sqrt{2}$

Hitung jaraknya:
$Jarak = \frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$
$Jarak = 3$

Jadi, jarak garis DE ke garis CF adalah 3 cm.