Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Besar sudut

Besar sudut antara garis CF dan garis EG adalah 60 derajat.

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut antara garis CF dan garis EG pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, kita perlu memahami posisi kedua garis tersebut.

Kubus ABCD.EFGH memiliki:
- Rusuk AB sejajar DC, EF sejajar HG, AD sejajar BC, EH sejajar FG.
- Bidang ABCD sejajar EFGH.
- Bidang ABFE sejajar DCGH.
- Bidang ADHE sejajar BCGF.

Garis CF adalah diagonal ruang yang menghubungkan sudut C ke sudut F.
Garis EG adalah diagonal bidang pada sisi atas (EFGH) yang menghubungkan sudut E ke sudut G.

Karena EG adalah diagonal bidang EFGH, maka EG sejajar dengan AC (diagonal bidang ABCD). Kita bisa memproyeksikan garis CF ke bidang alas ABCD untuk mempermudah visualisasi.

Mari kita gunakan vektor untuk penyelesaiannya.
Pilih titik A sebagai titik asal (0,0,0).
Jika rusuk = 4 cm, maka:
A = (0,0,0)
B = (4,0,0)
C = (4,4,0)
D = (0,4,0)
E = (0,0,4)
F = (4,0,4)
G = (4,4,4)
H = (0,4,4)

Vektor CF = F - C = (4,0,4) - (4,4,0) = (0, -4, 4)
Vektor EG = G - E = (4,4,4) - (0,0,4) = (4, 4, 0)

Untuk mencari sudut antara dua vektor, kita gunakan rumus dot product:
cos(θ) = (u · v) / (|u| |v|)

Dot product (CF · EG) = (0 * 4) + (-4 * 4) + (4 * 0) = 0 - 16 + 0 = -16

Besar vektor |CF| = sqrt(0² + (-4)² + 4²) = sqrt(0 + 16 + 16) = sqrt(32) = 4√2
Besar vektor |EG| = sqrt(4² + 4² + 0²) = sqrt(16 + 16 + 0) = sqrt(32) = 4√2

cos(θ) = -16 / ((4√2) * (4√2))
cos(θ) = -16 / (16 * 2)
cos(θ) = -16 / 32
cos(θ) = -1/2

Mencari sudut θ:
θ = arccos(-1/2)
θ = 120°

Alternatif lain:
Garis CF adalah diagonal ruang. Garis EG adalah diagonal bidang EFGH. Garis AC adalah diagonal bidang ABCD. Karena EFGH sejajar dengan ABCD, maka EG sejajar dengan AC.
Sudut antara CF dan EG sama dengan sudut antara CF dan AC.

Perhatikan segitiga ACG. AC adalah diagonal bidang alas, CG adalah rusuk tegak, dan AG adalah diagonal ruang.
Perhatikan segitiga ACF. AC adalah diagonal bidang alas, CF adalah diagonal ruang.
Perhatikan segitiga FGC. FG adalah rusuk, GC adalah rusuk, dan FC adalah diagonal bidang BCGF.

Sudut yang dicari adalah sudut antara CF dan EG. Kita tahu EG sejajar AC. Jadi kita mencari sudut antara CF dan AC.
Perhatikan segitiga ACF. Ini adalah segitiga siku-siku di C (karena AC tegak lurus CG, dan CG sejajar CF).
AC = diagonal bidang alas = s√2 = 4√2 cm.
CF = diagonal ruang = s√3 = 4√3 cm.
AF = diagonal bidang ABFE = s√2 = 4√2 cm.

Dalam segitiga ACF, kita bisa menggunakan aturan cosinus untuk mencari sudut antara CF dan AC. Namun, mari kita pertimbangkan perpotongan diagonal.

Perhatikan segitiga siku-siku FGC. FG = 4, GC = 4, FC = 4√2.
Perhatikan segitiga siku-siku EFG. EF = 4, FG = 4, EG = 4√2.

Garis CF dan EG berpotongan di tengah-tengah diagonal ruang AG (titik potong diagonal ruang kubus). Misalkan titik potongnya adalah P.

P adalah titik tengah CF dan P adalah titik tengah EG.

Gunakan proyeksi. Proyeksikan garis CF ke bidang EFGH. Proyeksi CF pada bidang EFGH adalah garis yang melalui F dan sejajar dengan diagonal ruang yang berawal dari C (yaitu AG). Ini tidak membantu.

Mari kembali ke vektor, perhitungan sudah benar.

Sudut antara CF dan EG adalah 120 derajat.

Namun, dalam konteks soal geometri seringkali yang ditanyakan adalah sudut lancip yang dibentuk oleh perpanjangan garis jika perlu. Jika yang dimaksud adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis (bukan vektor), maka kita ambil nilai cosinus positifnya.

Jika cos(θ) = -1/2, maka θ = 120°. Sudut pelurusnya adalah 180° - 120° = 60°.
Biasanya, sudut antara dua garis merujuk pada sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut, yang nilainya antara 0° dan 90°.

Mari kita periksa kembali posisi garis. Garis CF dan EG tidak berpotongan. EG berada di bidang EFGH. CF menembus bidang EFGH di F dan bidang ABCD di C.

Kita bisa mencari sudut antara garis CF dan garis EG dengan mencari sudut antara vektor arah mereka. Vektor CF = (0, -4, 4). Vektor EG = (4, 4, 0).

Kita sudah menghitung cos(θ) = -1/2, yang memberikan θ = 120°.
Karena sudut antara dua garis biasanya diambil yang lancip, maka kita ambil 180° - 120° = 60°.

Penjelasan Geometris:
Diagonal EG terletak pada bidang EFGH. Kita bisa memandang garis CF sebagai garis yang membentuk sudut dengan bidang EFGH. Namun, kita perlu sudut antara dua garis.

Pertimbangkan segitiga siku-siku CGE. CG = 4, GE = 4√2, CE = 4√2.
Pertimbangkan segitiga siku-siku CGF. CG = 4, GF = 4, CF = 4√2.

Mari kita cari garis yang sejajar dengan EG dan berpotongan dengan CF. Garis AC sejajar EG. Garis AC dan CF berpotongan di C.
Sudut antara AC dan CF. Segitiga ACF siku-siku di C.
AC = 4√2
CF = 4√3
AF = 4√2

Ini salah, segitiga ACF siku-siku di C jika sudut C adalah 90 derajat, yang benar adalah segitiga ACF. CF adalah diagonal ruang. AC adalah diagonal bidang. AF adalah diagonal bidang. Segitiga ACF siku-siku di A jika kita membicarakan bidang ABFE.  AC adalah diagonal bidang ABCD.

AC tegak lurus CG. CF menghubungkan C ke F.

Mari gunakan segitiga CFG. CG=4, FG=4, CF=4√2.

Kembali ke vektor: CF = (0, -4, 4), EG = (4, 4, 0).
cos(θ) = -1/2 => θ = 120°.
Sudut antara garis adalah 60°.