Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm, besar sudut

Sudut yang dibentuk adalah arccos(sqrt(2)/sqrt(3)).

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Kita ingin mencari besar sudut yang dibentuk oleh garis BE dan bidang BDHF.

Bidang BDHF adalah bidang diagonal kubus. Garis BE adalah diagonal ruang kubus yang berpotongan dengan bidang BDHF di titik B.

Untuk mencari sudut antara garis BE dan bidang BDHF, kita perlu mencari sudut antara garis BE dan proyeksinya pada bidang BDHF. Proyeksi BE pada bidang BDHF adalah garis BF.

Dalam kubus, segitiga BEF adalah segitiga siku-siku di F. Panjang rusuk adalah a.
BE = diagonal ruang = a * sqrt(3)
BF = diagonal sisi = a * sqrt(2)

Sudut yang dibentuk oleh garis BE dan bidang BDHF adalah sudut EBF.
Dalam segitiga siku-siku BEF:
Sin(sudut EBF) = EF / BE = a / (a * sqrt(3)) = 1 / sqrt(3)
Cos(sudut EBF) = BF / BE = (a * sqrt(2)) / (a * sqrt(3)) = sqrt(2) / sqrt(3)
Tan(sudut EBF) = EF / BF = a / (a * sqrt(2)) = 1 / sqrt(2)

Maka, besar sudut yang dibentuk garis BE dan bidang BDHF adalah arccos(sqrt(2)/sqrt(3)) atau arcsin(1/sqrt(3)) atau arctan(1/sqrt(2)).