Diketahui kubus ABCD.EFGH dergan panjang rusuk sama dergan

60 derajat

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis BE dan BG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk `a`, kita perlu mengidentifikasi posisi titik-titik tersebut dan menggunakan konsep geometri ruang, khususnya trigonometri.

Misalkan kubus memiliki titik A pada koordinat (0,0,0). Maka:
A = (0,0,0)
B = (a,0,0)
C = (a,a,0)
D = (0,a,0)
E = (0,0,a)
F = (a,0,a)
G = (a,a,a)
H = (0,a,a)

Kita ingin mencari sudut antara garis BE dan BG.

1.  **Vektor BE:** 
    Titik B = (a,0,0)
    Titik E = (0,0,a)
    Vektor BE = E - B = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)

2.  **Vektor BG:**
    Titik B = (a,0,0)
    Titik G = (a,a,a)
    Vektor BG = G - B = (a-a, a-0, a-0) = (0, a, a)

Sekarang kita gunakan rumus sudut antara dua vektor: `cos(theta) = (u . v) / (|u| * |v|)`,

dengan u = vektor BE dan v = vektor BG.

*   **Hasil kali titik (dot product) u . v:**
    u . v = (-a)(0) + (0)(a) + (a)(a)
    u . v = 0 + 0 + a^2
    u . v = a^2

*   **Besar vektor |u| (panjang BE):**
    |u| = sqrt((-a)^2 + 0^2 + a^2)
    |u| = sqrt(a^2 + 0 + a^2)
    |u| = sqrt(2a^2)
    |u| = a * sqrt(2)
    (Ini adalah panjang diagonal sisi kubus)

*   **Besar vektor |v| (panjang BG):**
    |v| = sqrt(0^2 + a^2 + a^2)
    |v| = sqrt(0 + a^2 + a^2)
    |v| = sqrt(2a^2)
    |v| = a * sqrt(2)
    (Ini juga panjang diagonal sisi kubus)

Sekarang hitung cos(theta):
`cos(theta) = (a^2) / ((a * sqrt(2)) * (a * sqrt(2)))
cos(theta) = a^2 / (a^2 * (sqrt(2) * sqrt(2)))
cos(theta) = a^2 / (a^2 * 2)
cos(theta) = a^2 / (2a^2)
cos(theta) = 1/2`.

Untuk mencari besar sudut theta, kita cari nilai `theta` dimana `cos(theta) = 1/2`.
Sudut yang memiliki nilai cosinus 1/2 adalah 60 derajat.

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis BE dengan BG adalah 60 derajat.

**Alternatif menggunakan segitiga:**
Perhatikan segitiga siku-siku BFG. BG adalah diagonal sisi kubus, jadi panjangnya `a*sqrt(2)`. BF adalah rusuk kubus, panjangnya `a`. FG adalah rusuk kubus, panjangnya `a`. Segitiga BFG siku-siku di F.

Sekarang kita perlu segitiga yang melibatkan BE dan BG. Perhatikan segitiga EBС. EB adalah rusuk (`a`), BC adalah rusuk (`a`), EC adalah diagonal sisi (`a*sqrt(2)`). Segitiga EBC siku-siku di B.

Pertimbangkan segitiga EBG. EB = `a`, BG = `a*sqrt(2)`. Kita perlu panjang EG. EG adalah diagonal sisi kubus, jadi EG = `a*sqrt(2)`.

Segitiga EBG memiliki sisi-sisi: EB = `a`, BG = `a*sqrt(2)`, EG = `a*sqrt(2)`.
Ini adalah segitiga sama kaki.
Untuk mencari sudut antara BE dan BG, kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga EBG, di mana sudut yang dicari adalah sudut di B (yaitu, sudut EBG).

Misalkan sudut EBG = θ.
Menurut aturan kosinus: `EG^2 = EB^2 + BG^2 - 2 * EB * BG * cos(θ)`
`(a*sqrt(2))^2 = a^2 + (a*sqrt(2))^2 - 2 * a * (a*sqrt(2)) * cos(θ)`
`2a^2 = a^2 + 2a^2 - 2 * a^2 * sqrt(2) * cos(θ)`
`2a^2 = 3a^2 - 2 * a^2 * sqrt(2) * cos(θ)`
Kurangkan `3a^2` dari kedua sisi:
`2a^2 - 3a^2 = -2 * a^2 * sqrt(2) * cos(θ)`
`-a^2 = -2 * a^2 * sqrt(2) * cos(θ)`
Bagi kedua sisi dengan `-a^2`:
`1 = 2 * sqrt(2) * cos(θ)`
`cos(θ) = 1 / (2 * sqrt(2))`

Ini berbeda dari hasil vektor. Mari kita periksa kembali koordinat dan pemahaman geometri.

Titik B=(a,0,0), E=(0,0,a), G=(a,a,a).
BE = E - B = (-a, 0, a). |BE| = sqrt(a^2+a^2) = a*sqrt(2).
BG = G - B = (0, a, a). |BG| = sqrt(a^2+a^2) = a*sqrt(2).

Perhatikan segitiga BFG. BF = a, FG = a, BG = a*sqrt(2). Ini segitiga siku-siku di F.
Perhatikan segitiga BCС'. CC' adalah tinggi `a`. BC adalah rusuk `a`. CG adalah diagonal sisi `a*sqrt(2)`.

Titik B=(a,0,0). Titik E=(0,0,a). Titik G=(a,a,a).

Kita mencari sudut antara BE dan BG. 

Mari kita lihat segitiga BGE. BG adalah diagonal ruang dari kubus yang dibentuk oleh titik B, C, G, H. Nah, B ke G adalah diagonal ruang jika B adalah salah satu sudut alas dan G adalah sudut atas yang berlawanan.

Dalam kubus ABCD.EFGH:
A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0), E=(0,0,a), F=(a,0,a), G=(a,a,a), H=(0,a,a).

Garis BE menghubungkan B(a,0,0) ke E(0,0,a).
Garis BG menghubungkan B(a,0,0) ke G(a,a,a).

Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh B, E, dan G.
Panjang BE = `a*sqrt(2)` (diagonal sisi ABFE).
Panjang BG = `a*sqrt(2)` (diagonal sisi BCGF).
Panjang EG = `a*sqrt(2)` (diagonal sisi ADHE atau DCGH).

Segitiga BEG adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi `a*sqrt(2)`.

Oleh karena itu, setiap sudut dalam segitiga sama sisi adalah 60 derajat.

Sudut yang dibentuk oleh garis BE dengan BG adalah sudut EBG.
Dalam segitiga sama sisi BEG, sudut EBG = 60 derajat.

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis BE dengan BG sama dengan 60 derajat.