Diketahui kubus ABCD.EFGH. Hitunglah sudut antara garis BG

45 derajat

Pembahasan

Untuk menghitung sudut antara garis BG dan bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu memahami geometri kubus dan konsep sudut antara garis dan bidang.
Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.
Garis BG adalah diagonal sisi pada bidang BCGF.
Bidang ABCD adalah bidang alas kubus.
Sudut antara garis BG dan bidang ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi garis BG pada bidang ABCD adalah garis AB.
Perhatikan segitiga siku-siku ABG, di mana sudut BAG adalah sudut yang kita cari.
Dalam segitiga siku-siku ABG:
Sisi AB adalah rusuk kubus, panjangnya = a.
Sisi AG adalah diagonal ruang kubus, panjangnya = a\u221A3.
Sisi BG adalah diagonal sisi kubus, panjangnya = a\u221A2.
Untuk mencari sudut antara garis BG dan bidang ABCD, kita perlu mencari sudut antara garis BG dan garis proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi garis BG pada bidang ABCD adalah garis AB.
Kita dapat menggunakan segitiga siku-siku ABG. Sudut yang dibentuk oleh BG dengan bidang ABCD adalah sudut ABG.
Dalam segitiga siku-siku ABG:
Tan (sudut ABG) = AG / AB = (a\u221A3) / a = \u221A3.
Ini salah karena AG bukan tegak lurus dengan bidang ABCD.
Mari kita perjelas proyeksi BG pada bidang ABCD. Proyeksi titik B pada bidang ABCD adalah B sendiri. Proyeksi titik G pada bidang ABCD adalah titik C.
Jadi, proyeksi garis BG pada bidang ABCD adalah garis BC.
Sudut yang dibentuk oleh garis BG dan bidang ABCD adalah sudut antara garis BG dan garis BC. Sudut ini adalah sudut GBC.
Perhatikan segitiga siku-siku BCG. Sudut BCG adalah siku-siku.
Dalam segitiga siku-siku BCG:
BC = a
CG = a
BG = a\u221A2 (diagonal sisi)
Sudut GBC adalah sudut yang dibentuk oleh garis BG dan bidang ABCD.
Kita bisa menggunakan definisi sinus:
Sin (sudut GBC) = CG / BG = a / (a\u221A2) = 1 / \u221A2 = \u221A2 / 2.
Nilai sinus \u221A2 / 2 adalah untuk sudut 45 derajat.
Jadi, sudut antara garis BG dan bidang ABCD adalah 45 derajat.