Diketahui kubus ABCD.EFGH yang berusuk 2 cm. Titik-titik P

Jarak P ke garis GQ adalah $\\sqrt{14}/2$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik P ke garis GQ pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 2 cm, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang.

Misalkan kita letakkan kubus pada sistem koordinat Kartesius.
Titik A = (0, 0, 0)
Rusuk kubus = 2 cm.

Koordinat titik-titik sudut kubus:
A = (0, 0, 0)
B = (2, 0, 0)
C = (2, 2, 0)
D = (0, 2, 0)
E = (0, 0, 2)
F = (2, 0, 2)
G = (2, 2, 2)
H = (0, 2, 2)

Titik P terletak di tengah EF. Koordinat EF adalah E=(0,0,2) dan F=(2,0,2).
Koordinat P = ((0+2)/2, (0+0)/2, (2+2)/2) = (1, 0, 2).

Titik Q terletak di tengah AC. Koordinat AC adalah A=(0,0,0) dan C=(2,2,0).
Koordinat Q = ((0+2)/2, (0+2)/2, (0+0)/2) = (1, 1, 0).

Garis GQ melewati titik G=(2, 2, 2) dan Q=(1, 1, 0).

Kita perlu mencari jarak dari titik P=(1, 0, 2) ke garis GQ.

Langkah 1: Cari vektor GQ.
$\\vec{GQ} = Q - G = (1-2, 1-2, 0-2) = (-1, -1, -2)$.

Langkah 2: Cari vektor GP.
$\\vec{GP} = P - G = (1-2, 0-2, 2-2) = (-1, -2, 0)$.

Langkah 3: Gunakan rumus jarak titik ke garis.
Jarak (P ke garis GQ) = |$\\|\\vec{GQ} \\times \\vec{GP}\\|$\\| / |$\\|\\vec{GQ}\\|$\\|$

Hitung hasil kali silang $\\\vec{GQ} \\times \\vec{GP}$:$
$\\\\begin{vmatrix}
  i & j & k \\ \\ -1 & -1 & -2 \\ \\ -1 & -2 & 0
\end{vmatrix} = i(0 - 4) - j(0 - 2) + k(2 - 1) = -4i + 2j + k$

$\\\vec{GQ} \\times \\vec{GP} = (-4, 2, 1)$

Hitung magnitude dari hasil kali silang:
|$\\|\\vec{GQ} \\times \\vec{GP}\\|$\\| = $\\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 1^2} = \\sqrt{16 + 4 + 1} = \\sqrt{21}$.

Hitung magnitude dari vektor GQ:
|$\\|\\vec{GQ}\\|$\\| = $\\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \\sqrt{1 + 1 + 4} = \\sqrt{6}$.

Jarak titik P ke garis GQ = $\\sqrt{21} / \\sqrt{6} = \\sqrt{21/6} = \\sqrt{7/2} = \\sqrt{14}/2$ cm.