Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk q cm. Sudut

60 derajat

Pembahasan

Untuk menentukan sudut antara garis TV dan garis RU pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk q cm, kita perlu memahami posisi kedua garis tersebut dalam kubus.

Kubus PQRS.TUVW memiliki:
- Sisi alas: PQRS
- Sisi atas: TUVW
- Rusuk tegak: PT, QU, RV, SW

Garis TV adalah diagonal pada sisi atas kubus (sisi TUVW).
Garis RU adalah diagonal pada sisi alas kubus (sisi PQRS).

Kedua garis ini, TV dan RU, adalah diagonal yang berlawanan arah pada bidang yang sejajar (bidang alas dan bidang atas). Jika kita memproyeksikan garis TV ke bidang alas PQRS, proyeksinya akan sejajar dengan garis RS (jika kita mengambil proyeksi ortogonal dari T ke bidang alas, yaitu P, dan dari V ke bidang alas, yaitu R, maka proyeksinya adalah PR). Namun, RU adalah diagonal lain pada bidang alas.

Untuk mencari sudut antara dua garis dalam ruang, kita bisa menggunakan vektor atau dengan menempatkan kedua garis pada satu titik awal dan mencari sudut yang terbentuk.

Mari kita pertimbangkan bidang diagonal yang dibentuk oleh garis TR dan SU, atau bidang diagonal yang dibentuk oleh RV dan TW. Garis TV dan RU terletak pada bidang-bidang diagonal yang berbeda dan tidak berpotongan.

Karena TV dan RU adalah diagonal dari dua bidang persegi yang sejajar dan berhadapan, serta tidak ada titik potong di antara keduanya, maka kedua garis tersebut adalah garis yang bersilangan (skew lines).

Sudut antara dua garis bersilangan didefinisikan sebagai sudut antara salah satu garis dan garis lain yang sejajar dengannya dan berpotongan dengan garis yang pertama. Atau, kita bisa mencari sudut antara vektor arah kedua garis tersebut.

Misalkan kita mengambil titik P sebagai titik acuan (0,0,0).
Jika P=(0,0,0), maka:
Q=(q,0,0)
R=(q,q,0)
S=(0,q,0)
T=(0,0,q)
U=(q,0,q)
V=(q,q,q)
W=(0,q,q)

Garis TV menghubungkan T(0,0,q) dan V(q,q,q). Vektor $\vec{TV} = V - T = (q, q, q) - (0, 0, q) = (q, q, 0)$.
Garis RU menghubungkan R(q,q,0) dan U(q,0,0). Vektor $\vec{RU} = U - R = (q, 0, 0) - (q, q, 0) = (0, -q, 0)$.

Mari kita koreksi koordinatnya agar lebih konsisten dengan penamaan sisi.
Misalkan P=(0,0,0), Q=(q,0,0), R=(q,q,0), S=(0,q,0).
Maka T=(0,0,q), U=(q,0,q), V=(q,q,q), W=(0,q,q).

Garis TV menghubungkan T(0,0,q) dan V(q,q,q). Vektor $\vec{TV} = V - T = (q, q, q) - (0, 0, q) = (q, q, 0)$.
Garis RU menghubungkan R(q,q,0) dan U(q,0,q). Vektor $\vec{RU} = U - R = (q, 0, q) - (q, q, 0) = (0, -q, q)$.

Kita gunakan rumus sudut antara dua vektor:
$\,\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\,\vec{TV} = (q, q, 0)$
$\,|\vec{TV}| = \sqrt{q^2 + q^2 + 0^2} = \sqrt{2q^2} = q\sqrt{2}$

$\,\vec{RU} = (0, -q, q)$
$\,|\vec{RU}| = \sqrt{0^2 + (-q)^2 + q^2} = \sqrt{2q^2} = q\sqrt{2}$

$\,\vec{TV} \cdot \vec{RU} = (q)(0) + (q)(-q) + (0)(q) = 0 - q^2 + 0 = -q^2$

$\,\cos \theta = \frac{|-q^2|}{(q\sqrt{2})(q\sqrt{2})} = \frac{q^2}{2q^2} = \frac{1}{2}$

Jika $\,\cos \theta = \frac{1}{2}$, maka $\theta = 60^\circ$.

Jadi, sudut antara garis TV dan garis RU adalah 60 derajat.