Diketahui limas segi empat T.ABCD dengan rusuk alas 8 cm

Jarak garis AD ke bidang TBC adalah (40√29) / 29 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak garis AD ke bidang TBC pada limas segi empat T.ABCD, kita perlu memahami konsep jarak antara garis dan bidang serta sifat-sifat limas.

Diketahui:
- Limas segi empat T.ABCD
- Rusuk alas (AB = BC = CD = DA) = 8 cm
- Tinggi limas (TO, di mana O adalah titik tengah alas) = 10 cm

Dalam limas segi empat beraturan, alasnya berbentuk persegi. Titik T berada tepat di atas pusat alas.

Jarak garis AD ke bidang TBC:
Gagasan dasarnya adalah mencari jarak dari suatu titik pada garis AD ke bidang TBC. Karena AD sejajar dengan bidang TBC (karena AD sejajar BC, dan BC berada di bidang TBC), maka jarak dari setiap titik pada AD ke bidang TBC adalah sama. Kita bisa memilih titik A atau D untuk menghitung jaraknya.

Namun, cara yang lebih umum adalah dengan mencari jarak dari titik T ke garis yang sejajar AD dan berada di bidang TBC, atau mencari jarak dari titik A ke bidang TBC.

Mari kita gunakan pendekatan mencari jarak dari titik A ke bidang TBC.
Untuk menghitung jarak titik ke bidang, kita perlu mencari garis yang tegak lurus terhadap bidang TBC dan melalui titik A.

Alternatif lain yang lebih mudah adalah dengan mencari jarak antara garis AD dan garis BC, lalu mengalikannya dengan faktor skala yang menghubungkan jarak tersebut ke bidang TBC. Namun, ini juga rumit.

Metode yang paling tepat adalah mencari jarak tegak lurus dari titik A ke bidang TBC.

Langkah-langkah:
1.  **Identifikasi bidang TBC**: Bidang ini dibentuk oleh titik T, B, dan C.
2.  **Cari garis proyeksi AD ke bidang TBC**: Karena AD sejajar BC, proyeksi AD ke bidang TBC adalah garis BC itu sendiri.
3.  **Jarak AD ke bidang TBC = Jarak AD ke garis proyeksinya (BC) + Jarak antara AD dan bidang TBC di titik tengahnya.** Ini bukan cara yang benar.

Mari kita gunakan metode vektor atau geometri analitik.

Cara Geometri:
Karena AD sejajar dengan BC, dan BC terletak pada bidang TBC, maka AD sejajar dengan bidang TBC. Jarak dari garis AD ke bidang TBC sama dengan jarak dari setiap titik pada garis AD ke bidang TBC. Kita bisa ambil titik A.

Jarak titik A ke bidang TBC. Ini memerlukan pencarian bidang lain yang tegak lurus terhadap TBC dan melalui A, atau menggunakan rumus jarak titik ke bidang.

Mari kita pertimbangkan bidang yang melalui A dan tegak lurus terhadap TBC. Ini rumit.

**Pendekatan yang lebih sederhana:**
Karena AD sejajar bidang TBC, jarak garis AD ke bidang TBC sama dengan jarak dari titik A ke bidang TBC.
Untuk mencari jarak titik A ke bidang TBC, kita perlu mencari garis yang tegak lurus bidang TBC dan melalui A.

Alternatif lain: Cari jarak antara garis AD dan garis TC, atau AD dan TB. Ini tidak benar.

**Kembali ke definisi jarak garis ke bidang:** Jarak antara garis g dan bidang α adalah jarak dari setiap titik pada garis g ke bidang α, asalkan garis g sejajar dengan bidang α.
Dalam kasus ini, AD sejajar BC, dan BC adalah bagian dari bidang TBC. Jadi, AD sejajar bidang TBC.

Kita perlu mencari jarak dari titik A ke bidang TBC.
1.  Buat garis tinggi dari T ke BC, sebut saja P. Karena T.ABCD adalah limas segi empat beraturan, alasnya persegi, dan TC = TB. Segitiga TBC adalah segitiga sama kaki.
2.  Panjang rusuk tegak (TA, TB, TC, TD) perlu dihitung terlebih dahulu.
    TA^2 = TO^2 + AO^2
    AO adalah setengah diagonal alas.
    Diagonal alas (AC) = √(AB^2 + BC^2) = √(8^2 + 8^2) = √(64 + 64) = √128 = 8√2 cm.
    AO = 4√2 cm.
    TA^2 = 10^2 + (4√2)^2 = 100 + 32 = 132
    TA = √132 = 2√33 cm.
    Jadi, TA = TB = TC = TD = 2√33 cm.

3.  Hitung tinggi segitiga TBC dari T ke BC. Misalkan M adalah titik tengah BC. Maka TM adalah tinggi segitiga TBC.
    TM^2 = TB^2 - BM^2
    BM = BC / 2 = 8 / 2 = 4 cm.
    TM^2 = (2√33)^2 - 4^2 = 132 - 16 = 116
    TM = √116 = 2√29 cm.

4.  Sekarang kita perlu mencari jarak dari titik A ke bidang TBC. Bidang TBC memiliki vektor normal. Namun, mencari vektor normal TBC secara manual cukup rumit.

**Pendekatan lain: Proyeksi**
Proyeksikan titik A ke bidang TBC. Jarak AD ke bidang TBC adalah jarak dari titik A ke titik proyeksinya pada bidang TBC.

**Metode Analitik Geometri:**
Letakkan O di (0,0,0). Maka:
A = (-4, -4, 0)
B = (4, -4, 0)
C = (4, 4, 0)
D = (-4, 4, 0)
T = (0, 0, 10)

Bidang TBC melewati titik T(0,0,10), B(4,-4,0), C(4,4,0).

Vektor TB = B - T = (4, -4, -10)
Vektor TC = C - T = (4, 4, -10)

Vektor normal bidang TBC (n) = TB x TC
n = | i   j   k  |
    | 4  -4 -10 |
    | 4   4 -10 |

n = i( (-4)(-10) - (-10)(4) ) - j( (4)(-10) - (-10)(4) ) + k( (4)(4) - (-4)(4) )
n = i( 40 + 40 ) - j( -40 + 40 ) + k( 16 + 16 )
n = 80i - 0j + 32k = (80, 0, 32)

Persamaan bidang TBC: ax + by + cz = d
80x + 0y + 32z = d
Substitusikan titik T(0,0,10) ke bidang:
80(0) + 0(0) + 32(10) = d => d = 320
Persamaan bidang TBC: 80x + 32z = 320, atau sederhanakan menjadi 5x + 2z = 20.

Sekarang hitung jarak titik A(-4, -4, 0) ke bidang 5x + 2z - 20 = 0.
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 - D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Jarak = |5(-4) + 0(-4) + 2(0) - 20| / sqrt(5^2 + 0^2 + 2^2)
Jarak = |-20 + 0 + 0 - 20| / sqrt(25 + 0 + 4)
Jarak = |-40| / sqrt(29)
Jarak = 40 / √29
Jarak = (40√29) / 29 cm.

Jadi, jarak garis AD ke bidang TBC adalah (40√29) / 29 cm.