Nilai minimum dari f(x, y)=3x+2y yang pernyelesaian

Nilai minimumnya adalah 6.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x, y) = 3x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, kita perlu mencari titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah penyelesaian yang dibentuk oleh pertidaksamaan tersebut, kemudian mensubstitusikan koordinat titik-titik tersebut ke dalam fungsi objektif.

Sistem Pertidaksamaan:
1. 4x + 5y <= 20
2. 3x + 5y >= 15
3. x >= 0
4. y >= 0

Langkah-langkah:
1. Cari titik potong sumbu untuk setiap garis:
   - Garis 1 (4x + 5y = 20):
     Jika x=0, 5y=20 -> y=4. Titik: (0, 4)
     Jika y=0, 4x=20 -> x=5. Titik: (5, 0)
   - Garis 2 (3x + 5y = 15):
     Jika x=0, 5y=15 -> y=3. Titik: (0, 3)
     Jika y=0, 3x=15 -> x=5. Titik: (5, 0)

2. Cari titik potong antara Garis 1 dan Garis 2:
   4x + 5y = 20
   3x + 5y = 15
   Kurangkan kedua persamaan:
   (4x - 3x) + (5y - 5y) = 20 - 15
   x = 5
   Substitusikan x=5 ke salah satu persamaan (misal Garis 2):
   3(5) + 5y = 15
   15 + 5y = 15
   5y = 0
   y = 0
   Titik potong: (5, 0)

3. Identifikasi titik-titik sudut daerah penyelesaian (mempertimbangkan x>=0 dan y>=0):
   - Titik (0, 3) [perpotongan sumbu y Garis 2]
   - Titik (0, 4) [perpotongan sumbu y Garis 1]
   - Titik (5, 0) [perpotongan sumbu x Garis 1 dan Garis 2]

   Daerah penyelesaian dibatasi oleh (0,3), (0,4), dan (5,0). Namun, kita perlu memeriksa apakah titik (0,4) memenuhi 3x+5y>=15. 3(0)+5(4)=20>=15 (memenuhi). Dan titik (5,0) memenuhi 4x+5y<=20. 4(5)+5(0)=20<=20 (memenuhi).
   Jadi, titik sudut yang relevan adalah (0, 3), (0, 4), dan (5, 0).

4. Substitusikan koordinat titik sudut ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 3x + 2y:
   - Untuk (0, 3): f(0, 3) = 3(0) + 2(3) = 0 + 6 = 6
   - Untuk (0, 4): f(0, 4) = 3(0) + 2(4) = 0 + 8 = 8
   - Untuk (5, 0): f(5, 0) = 3(5) + 2(0) = 15 + 0 = 15

5. Tentukan nilai minimumnya:
   Nilai minimum dari f(x, y) adalah 6, yang terjadi pada titik (0, 3).