Diketahui limas segiempat beraturan TABCD. Panjang rusuk

Nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas adalah sqrt(2)/4.

Pembahasan

Untuk menentukan kosinus sudut antara rusuk TA dengan bidang alas limas TABCD, kita perlu menggunakan konsep proyeksi vektor atau trigonometri dalam ruang.
Diketahui:
Limas segiempat beraturan TABCD.
Panjang rusuk alas (misalnya AB, BC, CD, DA) = 6 cm.
Panjang rusuk tegak (TA, TB, TC, TD) = 12 cm.

Bidang alas adalah persegi ABCD.
Sudut antara rusuk TA dengan bidang alas ABCD adalah sudut antara garis TA dengan proyeksinya pada bidang alas. Proyeksi titik T pada bidang alas adalah titik pusat alas (titik O, perpotongan diagonal AC dan BD). Jadi, proyeksi TA pada bidang alas adalah garis OA.

Sudut yang dicari adalah sudut ∠TAO.

Dalam segitiga siku-siku TOA (dengan siku-siku di O):
Kita perlu mencari panjang OA dan TA.
TA sudah diketahui = 12 cm.
Untuk mencari OA, kita perlu mencari panjang diagonal alas AC terlebih dahulu. Alas ABCD adalah persegi dengan sisi 6 cm.
Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 6^2 + 6^2
AC^2 = 36 + 36
AC^2 = 72
AC = sqrt(72) = sqrt(36 * 2) = 6 * sqrt(2) cm.

O adalah titik tengah AC, jadi OA = 1/2 * AC.
OA = 1/2 * (6 * sqrt(2))
OA = 3 * sqrt(2) cm.

Sekarang kita memiliki segitiga siku-siku TOA dengan sisi-sisi:
TA (sisi miring) = 12 cm
OA (sisi samping sudut ∠TAO) = 3 * sqrt(2) cm
TO (sisi depan sudut ∠TAO, tinggi limas)

Kita dapat menggunakan definisi kosinus dalam segitiga siku-siku:
cos(sudut) = (sisi samping) / (sisi miring)
cos(∠TAO) = OA / TA
cos(∠TAO) = (3 * sqrt(2)) / 12
cos(∠TAO) = sqrt(2) / 4

Jadi, nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas adalah sqrt(2) / 4.