Diketahui limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi

√10 / 10

Pembahasan

Diketahui limas T.ABCD dengan alas persegi panjang AB=8 cm, BC=6 cm. TA=TB=TC=TD=13 cm.
P adalah titik tengah AD.
Karena alasnya persegi panjang, maka AD = BC = 6 cm.
P adalah titik tengah AD, maka AP = PD = AD/2 = 6/2 = 3 cm.
Perhatikan segitiga siku-siku TAB, TBC, TCD, TDA. Karena TA=TB=TC=TD, maka limas tersebut adalah limas tegak. Tinggi limas (TO) dapat dicari menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku TOA, TOC, TOB, TOD.
Misalkan O adalah pusat persegi panjang ABCD. Diagonal AC = BD = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(8^2 + 6^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10 cm.
Jarak OA = OB = OC = OD = AC/2 = 10/2 = 5 cm.
Dalam segitiga siku-siku TOA, TO^2 + OA^2 = TA^2
TO^2 + 5^2 = 13^2
TO^2 + 25 = 169
TO^2 = 169 - 25 = 144
TO = 12 cm.
Sekarang kita perlu mencari nilai kosinus sudut antara garis TP dan bidang ABCD. Proyeksi garis TP pada bidang ABCD adalah garis OP.
Segitiga TOA adalah segitiga siku-siku di O. P adalah titik tengah AD. Dalam persegi panjang ABCD, kita dapat membuat segitiga siku-siku APO.
Dalam segitiga siku-siku APO, AO = 5 cm, AP = 3 cm.
OP^2 = AO^2 - AP^2 (jika O adalah titik proyeksi T pada bidang, dan P adalah titik di alas)
Namun, kita perlu mencari posisi O relatif terhadap P. Karena ABCD adalah persegi panjang, O adalah perpotongan diagonal. P adalah titik tengah AD.
Koordinat A = (0, 6), B = (8, 6), C = (8, 0), D = (0, 0). O = (4, 3).
P = titik tengah AD = (0+0)/2, (6+0)/2 = (0, 3).
Jarak OP = sqrt((4-0)^2 + (3-3)^2) = sqrt(4^2 + 0^2) = sqrt(16) = 4 cm.
Sudut antara garis TP dan bidang ABCD adalah sudut antara TP dan proyeksinya pada bidang ABCD, yaitu OP. Sudut tersebut adalah sudut TPO.
Dalam segitiga siku-siku TPO (karena TO tegak lurus bidang ABCD, maka TO tegak lurus OP),
Kita punya TO = 12 cm dan OP = 4 cm.
Kita cari cos(sudut TPO) = sisi samping / sisi miring = OP / TP.
Untuk mencari TP, kita gunakan segitiga TPD. TD = 13 cm, PD = 3 cm.
Segitiga TDA memiliki sisi TA = 13, TD = 13, AD = 6. Ini adalah segitiga sama kaki.
Untuk mencari TP, kita bisa gunakan segitiga TPO yang siku-siku di O. Tapi kita sudah tahu TO=12, OP=4. Kita perlu TP. TP adalah sisi miring.
TP^2 = TO^2 + OP^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160.
TP = sqrt(160) = sqrt(16*10) = 4*sqrt(10) cm.
Sekarang kita hitung kosinus sudut TPO:
cos(sudut TPO) = OP / TP = 4 / (4*sqrt(10)) = 1 / sqrt(10) = sqrt(10) / 10.