Diketahui lingkaran M dengan jari-jari 6 cm. AB adalah

2√2 cm

Pembahasan

Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitung panjang CD:

1.  **Memahami Konfigurasi Geometri:**
    *   Lingkaran M memiliki jari-jari 6 cm. AB adalah diameter, sehingga panjang AB = 12 cm.
    *   N berada di tengah BM, sehingga BN = NM = MB/2 = 12/2 = 6 cm. Ini berarti N berimpit dengan M.
    *   Lingkaran kedua berpusat di N (yaitu M) dengan diameter BM. Karena N berimpit dengan M, lingkaran ini sebenarnya adalah lingkaran M itu sendiri, dengan BM sebagai diameter. Namun, deskripsi soal menyatakan 'Dibuat lingkaran berpusat di N dengan BM sebagai diameter'. Jika N adalah titik tengah BM, dan M adalah pusat lingkaran pertama, maka N = M. Maka lingkaran kedua berpusat di M dengan BM sebagai diameter, yang berarti jari-jarinya adalah BM/2 = 6 cm. Ini kembali ke lingkaran M.
    *   Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan dan N adalah titik tengah dari jari-jari MB, bukan diameter. Jika M adalah pusat dan B di keliling, MB adalah jari-jari (6 cm). Maka N adalah titik tengah MB, sehingga MN = NB = 3 cm. Lingkaran kedua berpusat di N dengan BM sebagai diameter. Ini berarti jari-jari lingkaran kedua adalah BM/2 = 6/2 = 3 cm.
    *   Garis singgung dari A menyinggung lingkaran N di C.
    *   Garis singgung memotong lingkaran M di D.

2.  **Menggunakan Teorema Lingkaran:**
    *   Karena AC adalah garis singgung pada lingkaran N (berpusat di N dengan jari-jari 3 cm) di titik C, maka sudut ACN adalah 90 derajat.
    *   Perhatikan segitiga ABC. Karena AB adalah diameter lingkaran M, maka sudut ACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter, sehingga sudut ACB = 90 derajat.
    *   Ini berarti segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di C.

3.  **Menentukan Posisi Titik:**
    *   Titik A, M, N, B berada pada satu garis lurus (diameter AB).
    *   M adalah pusat lingkaran M, jari-jari MA = MB = 6 cm.
    *   N adalah titik tengah MB, sehingga MN = NB = 3 cm.
    *   Lingkaran N memiliki pusat N dan jari-jari NC = 3 cm.

4.  **Menghitung Panjang AC dan AD:**
    *   Dalam segitiga siku-siku ABC, kita perlu mencari hubungan antara sisi-sisinya. Kita tahu AB = 12 cm.
    *   Perhatikan segitiga ANC. AC^2 = AN^2 - NC^2 (Teorema Pythagoras, karena sudut ACN = 90 derajat).
    *   AN = AM + MN = 6 + 3 = 9 cm.
    *   AC^2 = 9^2 - 3^2 = 81 - 9 = 72
    *   AC = sqrt(72) = 6 * sqrt(2) cm.
    *   Sekarang kita punya AC = 6 * sqrt(2) dan AB = 12. Dalam segitiga siku-siku ABC:
        AC^2 + BC^2 = AB^2
        (6 * sqrt(2))^2 + BC^2 = 12^2
        72 + BC^2 = 144
        BC^2 = 144 - 72 = 72
        BC = sqrt(72) = 6 * sqrt(2) cm.
    *   Ini berarti segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan AC = BC.
    *   Titik D terletak pada lingkaran M dan pada garis singgung AC. Karena AC adalah garis singgung pada lingkaran N di C, dan C juga terletak pada lingkaran M, maka C adalah salah satu titik persekutuan antara kedua lingkaran.
    *   Soal menyatakan 'Dibuat garis singgung pada lingkaran N dari A. Bila garis singgung ini menyinggung lingkaran N di C dan memotong lingkaran M di D'. Ini berarti D adalah titik lain pada lingkaran M yang juga terletak pada garis AC. Namun, karena AC adalah garis singgung pada lingkaran N di C, dan C sudah berada di lingkaran M, maka D harus sama dengan C, atau ada interpretasi lain dari soal.
    *   Jika garis singgung dari A menyinggung lingkaran N di C, dan memotong lingkaran M di D, ini mengimplikasikan bahwa D juga berada pada garis AC dan pada lingkaran M. Karena AC adalah garis singgung pada lingkaran N, maka C adalah titik singgung. Jika D juga pada garis AC dan lingkaran M, dan D berbeda dari C, maka garis AC harus memotong lingkaran M di dua titik, C dan D. Tetapi AC adalah garis singgung pada lingkaran N, bukan pada lingkaran M.
    *   Mari kita perhatikan kembali. A, M, N, B segaris. M pusat lingkaran M (jari-jari 6). N tengah MB (MN=3). Lingkaran N (pusat N, jari-jari 3). Garis singgung dari A ke lingkaran N menyinggung di C. AC = 6*sqrt(2).
    *   Sekarang, garis singgung AC ini memotong lingkaran M di D. Karena C adalah titik singgung pada lingkaran N, dan C juga berada di lingkaran M (dari perhitungan AC dan BC), maka C adalah salah satu titik perpotongan. Titik D adalah perpotongan lain pada lingkaran M. Karena D terletak pada garis AC, maka D harus berada pada segmen garis AC atau perpanjangannya.
    *   Dalam segitiga siku-siku ABC, dengan AC = 6*sqrt(2) dan BC = 6*sqrt(2), AB = 12. Titik M adalah titik tengah AB. Titik N adalah titik tengah MB. Lingkaran M berpusat di M dengan jari-jari 6. Lingkaran N berpusat di N dengan jari-jari 3.
    *   Perhatikan segitiga AMN. AN = 9, MN = 3, AM = 6. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung AC dengan jari-jari NC adalah 90 derajat (sudut ACN). Sudut ACB adalah 90 derajat.
    *   Karena AC = 6*sqrt(2) dan AB = 12, dan sudut ACB = 90, ini cocok. D adalah titik potong lain pada lingkaran M yang terletak pada garis AC. Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki, sudut BAC = 45 derajat.
    *   Dalam lingkaran M, AB adalah diameter. D adalah titik pada lingkaran M. Garis AD adalah bagian dari garis AC. Sudut ABD adalah sudut keliling yang menghadap diameter AD jika AD adalah diameter, tapi tidak diketahui.
    *   Namun, jika kita melihat segitiga ACN, kita punya AN=9, NC=3, AC=6*sqrt(2). Segitiga ini siku-siku di C.
    *   Titik D terletak pada lingkaran M (jari-jari 6, pusat M) dan pada garis AC. Kita perlu mencari posisi D pada garis AC. Karena C terletak pada lingkaran M, jarak MC = 6 cm.
    *   Kita punya M adalah titik tengah AB. N adalah titik tengah MB. A----M----N----B. AM=6, MN=3, NB=3.
    *   Titik C adalah titik singgung dari A ke lingkaran N. AC = 6*sqrt(2).
    *   Titik D adalah perpotongan garis AC dengan lingkaran M, selain C (jika ada). Karena C sudah terletak pada lingkaran M (jarak MC = 6, kita perlu cek ini). Jarak MC: Dalam segitiga AMC, AM = 6, AC = 6*sqrt(2). Kita perlu sudut CAM atau MAC. Sudut CAB = 45 derajat.
    *   Gunakan aturan kosinus pada segitiga AMC:
        MC^2 = AM^2 + AC^2 - 2 * AM * AC * cos(sudut CAM)
        MC^2 = 6^2 + (6*sqrt(2))^2 - 2 * 6 * (6*sqrt(2)) * cos(45)
        MC^2 = 36 + 72 - 72 * sqrt(2) * (1/sqrt(2))
        MC^2 = 36 + 72 - 72
        MC^2 = 36
        MC = 6 cm.
    *   Ini mengkonfirmasi bahwa C terletak pada lingkaran M.
    *   Sekarang, D adalah titik potong lain pada lingkaran M yang terletak pada garis AC. Karena segitiga ABC siku-siku sama kaki, AC = BC = 6*sqrt(2). Titik M adalah titik tengah AB. Karena AC = BC, M adalah titik tengah AB, maka CM adalah garis berat dari C ke sisi AB dalam segitiga ABC. Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke hipotenusa adalah setengah hipotenusa. CM = AB/2 = 12/2 = 6. Ini cocok.
    *   Karena D terletak pada garis AC dan pada lingkaran M, dan C juga terletak pada lingkaran M, maka D haruslah titik pada lingkaran M yang segaris dengan A dan C. Jika AC adalah garis yang memotong lingkaran M, maka D adalah titik potong lainnya. Namun, AC adalah garis singgung pada lingkaran N. Titik D adalah perpotongan garis singgung AC dengan lingkaran M.
    *   Perhatikan kembali segitiga ABC. Sudut CAB = 45 derajat. Titik D terletak pada garis AC (yaitu segmen AB). Titik D juga berada pada lingkaran M. Jarak dari M ke D adalah jari-jari lingkaran M, yaitu MD = 6 cm. Karena D terletak pada segmen AC, dan C terletak pada lingkaran M (MC=6), maka D bisa jadi C, atau titik lain di garis AC.
    *   Jika D adalah titik pada lingkaran M dan pada garis AC, maka jarak dari M ke D adalah 6. Kita sudah tahu jarak dari M ke C adalah 6. Jadi, D bisa saja C. Namun, jika garis singgung AC memotong lingkaran M di D, dan C adalah titik singgung pada lingkaran N, dan C juga ada di lingkaran M, maka D adalah titik potong lain.
    *   Kita perlu mencari titik D pada garis AC sehingga jarak MD = 6. Kita tahu AM = 6. Jika D berada di antara A dan M, maka AD < 6. Jika D berada di antara M dan C, maka MD < MC = 6. Jika D berada di luar segmen AC, maka tidak relevan.
    *   Perhatikan segitiga AMD. Kita tahu AM = 6. Jika D adalah titik pada lingkaran M, maka MD = 6. Segitiga AMD adalah segitiga sama kaki dengan AM = MD = 6. Sudut MAD = sudut CAB = 45 derajat. Dalam segitiga sama kaki AMD, sudut ADM = sudut MAD = 45 derajat. Sudut AMD = 180 - 45 - 45 = 90 derajat.
    *   Ini berarti segitiga AMD siku-siku di M. Jika ini benar, maka AD adalah akar dari AM^2 + MD^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72. AD = sqrt(72) = 6*sqrt(2). Ini sama dengan panjang AC.
    *   Jadi, titik D haruslah titik C. Panjang CD = 0 cm.
    *   Mari kita cek interpretasi lain. Lingkaran M (pusat M, r=6). AB diameter. N tengah BM (MN=3). Lingkaran N (pusat N, r=3). Garis singgung dari A menyinggung lingkaran N di C. AC = 6*sqrt(2).
    *   AC memotong lingkaran M di D. Kita tahu C ada di lingkaran M. Jika D adalah titik lain, maka D harus terletak pada garis AC sedemikian rupa sehingga MD = 6. Dari perhitungan sebelumnya, jika D membuat segitiga AMD sama kaki (AM=MD=6) dengan sudut MAD=45, maka sudut AMD=90. Maka AD = 6*sqrt(2). Ini sama dengan AC. Jadi D=C.
    *   Ada kemungkinan interpretasi soal yang berbeda, atau ada kesalahan dalam soal/gambar.
    *   Namun, jika kita menganggap D adalah titik potong lain pada lingkaran M yang berada pada garis AC, dan C adalah titik singgung lingkaran N, dan C ada di lingkaran M, maka D harus berada pada garis AC.
    *   Jika D adalah titik pada lingkaran M dan pada garis AC, dengan M sebagai pusat dan r=6. Kita tahu A, M, N, B segaris. AC = 6*sqrt(2). Sudut CAB = 45. D terletak pada garis AC. MD = 6.
    *   Kita perlu mencari panjang CD. Jika D = C, maka CD = 0.
    *   Mari kita pertimbangkan kembali soal. Lingkaran M (pusat M, r=6). AB diameter. N di tengah BM. Lingkaran N (pusat N, r=3). Garis singgung dari A ke lingkaran N di C. AC = 6*sqrt(2). Garis singgung AC memotong lingkaran M di D. Kita tahu C berada di lingkaran M.
    *   Pertimbangkan segitiga ABC siku-siku di C, dengan AC = BC = 6*sqrt(2). M adalah titik tengah AB. Garis CM adalah garis berat dan juga tinggi. Titik D terletak pada garis AC. MD = 6. Maka D haruslah C.
    *   Jika soal dimaksudkan agar D berbeda dari C, maka garis AC harus memotong lingkaran M di dua titik berbeda. Namun, AC adalah garis singgung pada lingkaran N. Posisi C adalah titik singgung tersebut.
    *   Jika kita mengasumsikan D adalah titik lain pada lingkaran M yang terletak pada garis yang sama dengan A dan C, maka kita perlu menggunakan geometri analitik atau sifat-sifat lingkaran.
    *   Mari kita gunakan koordinat. Misalkan M = (0,0). Maka A = (-6,0) dan B = (6,0). N = (3,0). Lingkaran M: x^2 + y^2 = 6^2 = 36. Lingkaran N: (x-3)^2 + y^2 = 3^2 = 9.
    *   Garis singgung dari A=(-6,0) ke lingkaran N. Persamaan garis singgung: y - 0 = m(x - (-6)) => y = m(x+6).
    *   Jarak dari pusat N(3,0) ke garis singgung y - mx - 6m = 0 adalah jari-jari lingkaran N (3).
        |0 - m(3) - 6m| / sqrt(1^2 + (-m)^2) = 3
        |-9m| / sqrt(1 + m^2) = 3
        9|m| = 3 * sqrt(1 + m^2)
        3|m| = sqrt(1 + m^2)
        9m^2 = 1 + m^2
        8m^2 = 1
        m^2 = 1/8
        m = +/- 1/sqrt(8) = +/- 1/(2*sqrt(2)) = +/- sqrt(2)/4.
    *   Kita ambil m = -sqrt(2)/4 (karena C harus di atas sumbu x jika A di kiri).
    *   Persamaan garis singgung: y = -sqrt(2)/4 * (x+6).
    *   Titik C adalah titik singgung. Untuk mencari C, kita bisa menggunakan fakta bahwa NC tegak lurus dengan garis singgung.
    *   Gradien NC = (y_c - 0) / (x_c - 3). Gradien garis singgung = -sqrt(2)/4.
        Gradien NC = -1 / (-sqrt(2)/4) = 4/sqrt(2) = 2*sqrt(2).
        (y_c) / (x_c - 3) = 2*sqrt(2).
        y_c = 2*sqrt(2) * (x_c - 3).
    *   C juga terletak pada garis singgung: y_c = -sqrt(2)/4 * (x_c+6).
    *   Samakan kedua persamaan y_c:
        2*sqrt(2) * (x_c - 3) = -sqrt(2)/4 * (x_c+6)
        2 * (x_c - 3) = -1/4 * (x_c+6)
        8(x_c - 3) = -(x_c+6)
        8x_c - 24 = -x_c - 6
        9x_c = 18
        x_c = 2.
    *   Cari y_c: y_c = 2*sqrt(2) * (2 - 3) = 2*sqrt(2) * (-1) = -2*sqrt(2).
    *   Jadi, C = (2, -2*sqrt(2)). (Ini berarti C di bawah sumbu x, yang konsisten dengan gradien negatif).
    *   Cek jarak NC: NC^2 = (2-3)^2 + (-2*sqrt(2)-0)^2 = (-1)^2 + (-2*sqrt(2))^2 = 1 + 8 = 9. NC = 3. Cocok.
    *   Sekarang, cari titik D. D terletak pada lingkaran M (x^2 + y^2 = 36) dan pada garis singgung y = -sqrt(2)/4 * (x+6).
    *   Substitusi y ke persamaan lingkaran M:
        x^2 + (-sqrt(2)/4 * (x+6))^2 = 36
        x^2 + (2/16 * (x+6)^2) = 36
        x^2 + (1/8 * (x^2 + 12x + 36)) = 36
        8x^2 + x^2 + 12x + 36 = 36 * 8 = 288
        9x^2 + 12x + 36 - 288 = 0
        9x^2 + 12x - 252 = 0
        Bagi dengan 3: 3x^2 + 4x - 84 = 0.
    *   Kita tahu C adalah salah satu titik potong, jadi x_c = 2 seharusnya menjadi salah satu solusi dari persamaan kuadrat ini.
        3(2)^2 + 4(2) - 84 = 3(4) + 8 - 84 = 12 + 8 - 84 = 20 - 84 = -64. Ini tidak sama dengan 0. Ada kesalahan dalam perhitungan atau interpretasi.
    *   Kembali ke geometri. A=(-6,0), M=(0,0), N=(3,0), B=(6,0).
    *   Lingkaran M: x^2 + y^2 = 36.
    *   Lingkaran N: (x-3)^2 + y^2 = 9.
    *   Garis singgung dari A ke lingkaran N di C. C terletak pada lingkaran N. NC tegak lurus AC.
    *   Jika sudut CAB = 45, maka garis AC adalah y = tan(45)(x+6) = x+6. Jika C terletak pada garis ini dan lingkaran N.
        (x-3)^2 + (x+6)^2 = 9
        x^2 - 6x + 9 + x^2 + 12x + 36 = 9
        2x^2 + 6x + 45 = 9
        2x^2 + 6x + 36 = 0
        x^2 + 3x + 18 = 0. Diskriminan = 3^2 - 4(1)(18) = 9 - 72 = -63 < 0. Tidak ada solusi real. Jadi sudut CAB bukan 45.
    *   Kembali ke AC = 6*sqrt(2) dan segitiga ABC siku-siku di C, BC = 6*sqrt(2). M adalah titik tengah AB. CM tegak lurus AB. C=(0, 6*sqrt(2)) jika AB pada sumbu x. Tapi M adalah (0,0). Maka C=(0, 6) atau C=(0,-6) jika M adalah pusat dan AB horizontal. Tapi C adalah titik singgung.
    *   Mari gunakan pendekatan yang lebih sederhana. Titik A, M, N, B segaris. AM=6, MN=3, NB=3. Lingkaran M (pusat M, r=6). Lingkaran N (pusat N, r=3). AC adalah garis singgung dari A ke lingkaran N di C. Maka segitiga ACN siku-siku di C. AN = AM+MN = 6+3 = 9. AC^2 = AN^2 - NC^2 = 9^2 - 3^2 = 81 - 9 = 72. AC = sqrt(72) = 6*sqrt(2).
    *   Garis AC memotong lingkaran M di D. Titik C terletak pada lingkaran M (MC=6). Jadi C adalah salah satu titik potong. D adalah titik potong lain pada lingkaran M di garis AC.
    *   Perhatikan segitiga AM D. AM = 6 (jari-jari MA). MD = 6 (jari-jari MD). Segitiga AMD sama kaki. Sudut MAD adalah sudut antara garis AC dan garis AB. Kita perlu mencari sudut ini.
    *   Dalam segitiga siku-siku ACN, cos(sudut CAN) = AC/AN = (6*sqrt(2))/9 = 2*sqrt(2)/3. sin(sudut CAN) = NC/AN = 3/9 = 1/3.
    *   Sudut CAN adalah sudut yang sama dengan sudut CAB. Maka cos(sudut CAB) = 2*sqrt(2)/3.
    *   Sekarang, dalam segitiga sama kaki AMD, gunakan aturan kosinus untuk mencari AD:
        MD^2 = AM^2 + AD^2 - 2 * AM * AD * cos(sudut MAD)
        6^2 = 6^2 + AD^2 - 2 * 6 * AD * (2*sqrt(2)/3)
        36 = 36 + AD^2 - 24 * AD * (2*sqrt(2)/3)
        0 = AD^2 - 16*sqrt(2)*AD
        AD(AD - 16*sqrt(2)) = 0
        Karena D bukan A, maka AD = 16*sqrt(2).
    *   Ini tidak masuk akal karena D harus berada pada garis AC, dan C adalah titik singgung. Jarak AC = 6*sqrt(2). Jika AD = 16*sqrt(2), maka D berada jauh di luar segmen AC.
    *   Mari kita kembali ke C terletak pada lingkaran M. MC = 6. D terletak pada garis AC. MD = 6. AC = 6*sqrt(2).
    *   Jika D adalah titik lain pada lingkaran M dan pada garis AC, maka D bisa di antara A dan C, atau C di antara A dan D, atau A di antara D dan C.
    *   Kita tahu C terletak pada lingkaran M. Jadi jarak MC = 6. D juga terletak pada lingkaran M, jadi MD = 6.
    *   Perhatikan posisi relatif titik-titik pada garis AC. A, C, D.
    *   Jarak AC = 6*sqrt(2).
    *   Jarak MC = 6.
    *   Jarak MD = 6.
    *   Dalam segitiga AMC, AM = 6, MC = 6, AC = 6*sqrt(2). Gunakan aturan kosinus pada sudut CAM (sudut antara AM dan AC):
        MC^2 = AM^2 + AC^2 - 2 * AM * AC * cos(CAM)
        6^2 = 6^2 + (6*sqrt(2))^2 - 2 * 6 * (6*sqrt(2)) * cos(CAM)
        36 = 36 + 72 - 72*sqrt(2) * cos(CAM)
        0 = 72 - 72*sqrt(2) * cos(CAM)
        cos(CAM) = 72 / (72*sqrt(2)) = 1/sqrt(2).
        Jadi, sudut CAM = 45 derajat.
    *   Ini berarti sudut antara garis AB dan garis AC adalah 45 derajat.
    *   Sekarang, kita mencari titik D pada garis AC sedemikian rupa sehingga MD = 6. Kita tahu M adalah pusat lingkaran M. A berada di luar lingkaran, C berada di lingkaran M.
    *   Ada dua titik pada garis AC yang berjarak 6 dari M. Salah satunya adalah C. Titik lainnya, D, akan berada di sisi berlawanan dari M relatif terhadap C, atau di sisi yang sama.
    *   Karena sudut CAM = 45, maka dalam segitiga AMC, AM = MC = 6, jadi segitiga AMC adalah segitiga sama kaki. Sudut ACM = sudut CAM = 45 derajat. Sudut AMC = 180 - 45 - 45 = 90 derajat.
    *   Ini berarti AC tegak lurus dengan AM (dan juga AB). Tetapi kita sudah menghitung cos(CAM) = 1/sqrt(2), jadi sudutnya 45, bukan 90.
    *   Kesalahan dalam asumsi atau perhitungan sebelumnya.
    *   Mari kita kembali ke koordinat. M=(0,0), A=(-6,0), B=(6,0), N=(3,0).
    *   Lingkaran M: x^2 + y^2 = 36.
    *   Lingkaran N: (x-3)^2 + y^2 = 9.
    *   Garis singgung dari A ke lingkaran N menyinggung di C. Gradien garis singgung m = +/- sqrt(2)/4. Ambil m = -sqrt(2)/4. Garis singgung: y = -sqrt(2)/4 (x+6).
    *   C = (2, -2*sqrt(2)).
    *   Titik D terletak pada lingkaran M (x^2+y^2=36) dan pada garis y = -sqrt(2)/4 (x+6).
    *   Kita dapatkan persamaan kuadrat: 3x^2 + 4x - 84 = 0.
    *   Akar-akarnya adalah x = [-4 +/- sqrt(16 - 4(3)(-84))] / (2*3) = [-4 +/- sqrt(16 + 1008)] / 6 = [-4 +/- sqrt(1024)] / 6 = [-4 +/- 32] / 6.
    *   x1 = (-4 + 32) / 6 = 28 / 6 = 14/3.
    *   x2 = (-4 - 32) / 6 = -36 / 6 = -6.
    *   Jika x = -6, maka y = -sqrt(2)/4 (-6+6) = 0. Titik (-6,0) adalah A. A adalah salah satu perpotongan garis AC dengan lingkaran M. Ini tidak masuk akal karena A bukan pada lingkaran M.
    *   Ada kesalahan fatal dalam penerapan gradien atau persamaan garis singgung.
    *   Mari kita kembali ke fakta geometris yang kuat: AC = 6*sqrt(2). C terletak pada lingkaran M (MC=6). D terletak pada lingkaran M (MD=6) dan pada garis AC.
    *   Kita punya titik A, M, C. AM=6, MC=6, AC=6*sqrt(2). Ini membentuk segitiga sama kaki AMC. Sudut AMC = 90 derajat.
    *   Titik D terletak pada garis AC. Jarak MD = 6.
    *   Ada dua titik pada garis AC yang berjarak 6 dari M. Salah satunya adalah C. Titik D adalah titik lainnya.
    *   Karena segitiga AMC siku-siku di M, maka AC adalah hipotenusa. Jarak dari M ke garis AC adalah tinggi dari segitiga AMC terhadap sisi AC. Luas AMC = 1/2 * AM * MC = 1/2 * 6 * 6 = 18. Luas AMC = 1/2 * AC * tinggi = 1/2 * 6*sqrt(2) * tinggi. Tinggi = 18 / (3*sqrt(2)) = 6/sqrt(2) = 3*sqrt(2).
    *   Titik D adalah titik pada garis AC dengan jarak MD = 6. C adalah titik pada garis AC dengan jarak MC = 6.
    *   Karena sudut AMC = 90, maka M adalah pusat lingkaran yang melewati A dan C (jari-jari 6). Tapi lingkaran M berpusat di M dengan jari-jari 6. Jadi A dan C harus berada di lingkaran M. Tapi AM=6, jadi A memang di lingkaran M. MC=6, jadi C di lingkaran M.
    *   Jika sudut AMC = 90, maka AC = sqrt(AM^2 + MC^2) = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(72) = 6*sqrt(2). Ini konsisten.
    *   Jadi, A dan C berada pada lingkaran M, dan sudut AMC = 90 derajat.
    *   D adalah titik pada lingkaran M dan pada garis AC. Ini berarti D adalah salah satu dari A atau C, atau titik lain pada lingkaran M yang segaris dengan A dan C. Tetapi AC adalah sebuah segmen garis. Titik D harus terletak pada segmen AC atau perpanjangannya.
    *   Jika D adalah titik lain pada lingkaran M yang segaris dengan A dan C, maka garis AC harus memotong lingkaran M di dua titik. Kita tahu C adalah salah satunya. D adalah yang lain.
    *   Karena A, M, C membentuk segitiga siku-siku sama kaki, dan M adalah pusat lingkaran M, maka A dan C berada di lingkaran M.
    *   AC adalah tali busur lingkaran M. Panjang tali busur AC = 6*sqrt(2).
    *   D adalah titik potong lain dari garis AC dengan lingkaran M. Ini berarti D harus berada pada perpanjangan AC sedemikian rupa sehingga MD = 6.
    *   Kita tahu jarak dari M ke C adalah 6. Jarak dari M ke A adalah 6. Titik D terletak pada garis AC.
    *   Karena sudut AMC = 90, M adalah pusat lingkaran, AC adalah tali busur.
    *   Ada dua kemungkinan untuk D pada garis AC yang berjarak 6 dari M. C adalah salah satunya.
    *   Misalkan garis AC adalah sumbu X. M=(0,0). C=(6,0). Maka AC = 6. Ini tidak cocok.
    *   Kembali ke segitiga AMC: AM=6, MC=6, sudut AMC=90. Kita mencari D pada garis AC, MD=6.
    *   Jika kita perpanjang garis AC ke arah A, atau ke arah C, kita perlu mencari titik D sedemikian rupa sehingga jaraknya dari M adalah 6.
    *   Kita tahu C berjarak 6 dari M. Jika D adalah titik lain pada garis AC yang berjarak 6 dari M, maka D harus berada di sisi lain M dari C, atau sama dengan C.
    *   Karena sudut AMC = 90, maka AC adalah tali busur yang tegak lurus dengan garis AM. Jika kita perpanjang AC, titik D yang berjarak 6 dari M haruslah titik yang berada di perpanjangan AC sedemikian rupa sehingga membentuk segitiga siku-siku dengan M.
    *   Jika kita perpanjang AC ke arah A, kita akan menemukan titik D sehingga MD = 6.
    *   Dalam segitiga AMC siku-siku di M, jika kita perpanjang AC ke arah A sejauh AD', maka D' harus berada di sisi M.
    *   Ada dua kemungkinan D pada garis AC yang berjarak 6 dari M: C itu sendiri, atau titik D' sedemikian rupa sehingga MD'=6.
    *   Karena C berada pada lingkaran M, dan D juga berada pada lingkaran M dan pada garis AC, maka D adalah titik potong kedua. Karena A, M, C membentuk segitiga siku-siku di M, maka titik A dan C berada pada lingkaran M. Garis AC adalah tali busur.
    *   Titik D adalah titik lain pada lingkaran M yang terletak pada garis AC. Ini berarti D harus berada pada perpanjangan AC.
    *   Jika kita perpanjang MC ke arah berlawanan dari A, kita akan menemukan titik D sedemikian rupa sehingga MD = 6.
    *   Dalam segitiga AMC, AM=MC=6, sudut AMC=90. Titik D pada garis AC dengan MD=6. Ini berarti D bisa jadi C.
    *   Namun, jika D adalah titik lain, maka D harus berada pada perpanjangan AC.
    *   Jika kita perpanjang CM ke arah berlawanan dari M, kita akan mendapatkan titik D sedemikian rupa sehingga MD = 6.
    *   Karena A dan C berada pada lingkaran M, dan M adalah pusat, maka jarak dari M ke A adalah 6 dan jarak dari M ke C adalah 6. Jika D adalah titik lain pada garis AC dengan jarak 6 dari M, maka D harus terletak pada perpanjangan AC.
    *   Jika kita perpanjang AC ke arah A, kita akan menemukan D sehingga MD=6. Segitiga AMD akan sama kaki.
    *   Karena sudut AMC = 90, maka titik D pada garis AC dengan jarak 6 dari M haruslah titik pada perpanjangan AC.
    *   Misalkan kita menggunakan sifat simetri. Garis AB adalah sumbu simetri jika segitiga ABC simetris terhadap AB. Tapi tidak.
    *   Kembali ke C = (2, -2*sqrt(2)) dan M = (0,0). AC = sqrt((2 - (-6))^2 + (-2*sqrt(2) - 0)^2) = sqrt(8^2 + (-2*sqrt(2))^2) = sqrt(64 + 8) = sqrt(72) = 6*sqrt(2).
    *   Titik D pada lingkaran x^2+y^2=36 dan pada garis y = -sqrt(2)/4 (x+6).
    *   Persamaan kuadrat: 3x^2 + 4x - 84 = 0. Akar-akarnya adalah x1 = 14/3 dan x2 = -6.
    *   Jika x = 14/3, y = -sqrt(2)/4 * (14/3 + 6) = -sqrt(2)/4 * (14/3 + 18/3) = -sqrt(2)/4 * (32/3) = -8*sqrt(2)/3.
    *   Jadi, D = (14/3, -8*sqrt(2)/3).
    *   Cek jarak MD: MD^2 = (14/3 - 0)^2 + (-8*sqrt(2)/3 - 0)^2 = (14/3)^2 + (-8*sqrt(2)/3)^2 = 196/9 + (64*2)/9 = 196/9 + 128/9 = 324/9 = 36. MD = 6. Cocok.
    *   Jadi, titik D adalah (14/3, -8*sqrt(2)/3).
    *   Titik C adalah (2, -2*sqrt(2)).
    *   Panjang CD = sqrt((14/3 - 2)^2 + (-8*sqrt(2)/3 - (-2*sqrt(2)))^2)
        CD = sqrt((14/3 - 6/3)^2 + (-8*sqrt(2)/3 + 6*sqrt(2)/3)^2)
        CD = sqrt((8/3)^2 + (-2*sqrt(2)/3)^2)
        CD = sqrt(64/9 + (4*2)/9)
        CD = sqrt(64/9 + 8/9)
        CD = sqrt(72/9)
        CD = sqrt(8)
        CD = 2*sqrt(2) cm.
    *   Panjang CD adalah 2*sqrt(2) cm.