Diketahui lingkaran x^2+y^2-2x+4y+1 = 0. Hasil pencerminan

\(x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0\)

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0\).
Untuk mencari hasil pencerminannya oleh garis \(y = -x\), kita perlu menggunakan aturan transformasi pencerminan.

Aturan pencerminan terhadap garis \(y = -x\) adalah sebagai berikut: sebuah titik \((x, y)\) dicerminkan menjadi \((-y, -x)\).

Jadi, jika \((x, y)\) adalah titik pada lingkaran asli, maka titik bayangannya adalah \((x', y') = (-y, -x)\).
Ini berarti \(x' = -y\) dan \(y' = -x\).
Dari sini, kita dapat menyatakan \(y\) dan \(x\) dalam bentuk \(x'\) dan \(y'\):
\(y = -x'\)
\(x = -y'\)

Sekarang, substitusikan \(x = -y'\) dan \(y = -x'\) ke dalam persamaan lingkaran asli:

\((-y')^2 + (-x')^2 - 2(-y') + 4(-x') + 1 = 0\)

Sederhanakan persamaan:

\((y')^2 + (x')^2 + 2y' - 4x' + 1 = 0\)

Susun ulang suku-sukunya agar sesuai dengan bentuk standar persamaan lingkaran \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\):

\((x')^2 - 4x' + (y')^2 + 2y' + 1 = 0\)

Lengkapi kuadrat untuk suku \(x'\) dan \(y'\):

Untuk \(x'\): \((x')^2 - 4x'\). Tambahkan \((rac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4\).
Untuk \(y'\): \((y')^2 + 2y'\). Tambahkan \((rac{2}{2})^2 = (1)^2 = 1\).

Tambahkan konstanta ini ke kedua sisi persamaan:

\((x')^2 - 4x' + 4 + (y')^2 + 2y' + 1 + 1 = 4 + 1\)

\((x' - 2)^2 + (y' + 1)^2 + 1 = 5\)

\((x' - 2)^2 + (y' + 1)^2 = 4\)

Menghilangkan tanda \('\\) karena itu hanya variabel dummy, persamaan lingkaran hasil pencerminan adalah:

\((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\)

Kita bisa juga menulisnya dalam bentuk umum:
\(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 4\)
\(x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0\)

Jadi, hasil pencerminan lingkaran \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0\) oleh garis \(y = -x\) adalah \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4\) atau \(x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0\).