Misalkan, garis x+y=-4 memotong lingkaran

Luas segitiga yang terbentuk oleh titik A, B, dan titik pusat lingkaran adalah 4.

Pembahasan

Untuk menentukan luas segitiga yang terbentuk oleh titik A, B, dan titik pusat lingkaran, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Persamaan lingkaran adalah x² + y² - 4x + 8y + 10 = 0.
    Kita ubah ke bentuk standar (x - h)² + (y - k)² = r² dengan melengkapkan kuadrat.
    (x² - 4x) + (y² + 8y) = -10
    (x² - 4x + 4) + (y² + 8y + 16) = -10 + 4 + 16
    (x - 2)² + (y + 4)² = 10
    Jadi, titik pusat lingkaran (P) adalah (2, -4) dan jari-jari (r) adalah √10.

2.  **Mencari titik potong A dan B:**
    Garis x + y = -4 dapat ditulis sebagai x = -4 - y.
    Substitusikan x ke dalam persamaan lingkaran:
    (-4 - y)² + y² - 4(-4 - y) + 8y + 10 = 0
    (16 + 8y + y²) + y² + 16 + 4y + 8y + 10 = 0
    2y² + 20y + 42 = 0
    y² + 10y + 21 = 0
    (y + 3)(y + 7) = 0
    Jadi, y = -3 atau y = -7.

    Jika y = -3, maka x = -4 - (-3) = -1. Titik A = (-1, -3).
    Jika y = -7, maka x = -4 - (-7) = 3. Titik B = (3, -7).

3.  **Menghitung luas segitiga PAB:**
    Kita bisa menggunakan rumus luas segitiga dengan koordinat:
    Luas = 1/2 |x_P(y_A - y_B) + x_A(y_B - y_P) + x_B(y_P - y_A)|
    Luas = 1/2 |2(-3 - (-7)) + (-1)(-7 - (-4)) + 3(-4 - (-3))|
    Luas = 1/2 |2(-3 + 7) + (-1)(-7 + 4) + 3(-4 + 3)|
    Luas = 1/2 |2(4) + (-1)(-3) + 3(-1)|
    Luas = 1/2 |8 + 3 - 3|
    Luas = 1/2 |8|
    Luas = 4.

    Atau, kita bisa menghitung panjang alas AB dan tinggi segitiga dari P ke garis AB.
    Jarak AB = √((3 - (-1))² + (-7 - (-3))²) = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.
    Jarak dari titik pusat P(2, -4) ke garis x + y + 4 = 0 adalah tinggi (t):
    t = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) = |1(2) + 1(-4) + 4| / √(1² + 1²) = |2 - 4 + 4| / √2 = |2| / √2 = 2/√2 = √2.
    Luas = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * (4√2) * (√2) = 1/2 * 4 * 2 = 4.