Diketahui matriks A=(1 3 2 5) dan B=(3 -2 1 4). Jika A^T

Determinan matriks X adalah -33.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan beberapa langkah:
1. Mencari transpose dari matriks A (A^T).
2. Menghitung B + A.
3. Menyelesaikan persamaan A^T X = B + A untuk mencari matriks X.
4. Menghitung determinan dari matriks X.

Diketahui:
Matriks A = (1 3 2 5)
Matriks B = (3 -2 1 4)

Langkah 1: Mencari transpose dari matriks A (A^T).
Transpose matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom atau sebaliknya. Namun, karena matriks A yang diberikan tampaknya ditulis dalam format baris, kita asumsikan bahwa matriks A adalah matriks 2x2:
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} $

Maka, transpose dari matriks A adalah:
$ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} $

Langkah 2: Menghitung B + A.
Kita perlu memastikan bahwa matriks B juga merupakan matriks 2x2 agar bisa dijumlahkan dengan A. Dengan asumsi format penulisan yang sama untuk B:
$ B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} $

Maka, B + A adalah:
$ B + A = \begin{pmatrix} 3+1 & -2+3 \\ 1+2 & 4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} $

Langkah 3: Menyelesaikan persamaan A^T X = B + A.
Misalkan matriks X adalah matriks 2x2:
$ X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} $

Maka persamaan menjadi:
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} $

Untuk mencari matriks X, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan invers dari A^T (yaitu (A^T)^-1):
$ X = (A^T)^{-1} (B + A) $

Pertama, kita cari determinan dari A^T:
det(A^T) = (1 * 5) - (2 * 3) = 5 - 6 = -1

Invers dari A^T adalah:
$ (A^T)^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} $

Sekarang, kita hitung X:
$ X = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5*4 + 2*3) & (-5*1 + 2*9) \\ (3*4 + -1*3) & (3*1 + -1*9) \end{pmatrix} $
$ X = \begin{pmatrix} (-20 + 6) & (-5 + 18) \\ (12 - 3) & (3 - 9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & 13 \\ 9 & -6 \end{pmatrix} $

Langkah 4: Menghitung determinan dari matriks X.
det(X) = (-14 * -6) - (13 * 9)
det(X) = 84 - 117
det(X) = -33

Jadi, determinan matriks X adalah -33.