Diketahui matriks P=[7 4 -2 6] dan Q=[a b+c a+b c+d]. Jika

Nilai d adalah 7/50.

Pembahasan

Diketahui matriks P = [7 4 -2 6] dan Q = [a b+c a+b c+d]. Jika P = Q^(-1), maka kita perlu mencari invers dari matriks Q terlebih dahulu. Matriks Q adalah matriks 2x2 dengan elemen:
Q = [[a, b+c], [a+b, c+d]]

Invers dari matriks 2x2 [[w, x], [y, z]] adalah (1/det(Q)) * [[z, -x], [-y, w]], di mana det(Q) = wz - xy.

Dalam kasus matriks Q:
det(Q) = a(c+d) - (b+c)(a+b)
det(Q) = ac + ad - (ab + b^2 + ac + bc)
det(Q) = ac + ad - ab - b^2 - ac - bc
det(Q) = ad - ab - b^2 - bc

Q^(-1) = (1/(ad - ab - b^2 - bc)) * [[c+d, -(b+c)], [-(a+b), a]]

Kita diberikan P = Q^(-1), di mana P = [7 4 -2 6].

Jadi, kita punya:
[7 4 -2 6] = (1/(ad - ab - b^2 - bc)) * [[c+d, -(b+c)], [-(a+b), a]]

Ini berarti:
7 = (c+d) / det(Q)
4 = -(b+c) / det(Q)
-2 = -(a+b) / det(Q)
6 = a / det(Q)

Dari persamaan terakhir, kita dapatkan det(Q) = a/6.

Sekarang kita substitusikan det(Q) ke persamaan lain:

7 = (c+d) / (a/6) => 7a/6 = c+d
4 = -(b+c) / (a/6) => 4a/6 = -(b+c) => 2a/3 = -b-c
-2 = -(a+b) / (a/6) => -2a/6 = -(a+b) => -a/3 = -a-b => a/3 = a+b => b = a/3 - a => b = -2a/3

Sekarang kita punya:
c+d = 7a/6
b = -2a/3

Kita perlu mencari nilai 'd'. Kita juga tahu bahwa:
2a/3 = -b-c
2a/3 = -(-2a/3) - c
2a/3 = 2a/3 - c
Ini berarti c = 0.

Jika c = 0, maka:
d = 7a/6
Dan:
b = -2a/3

Kita juga memiliki persamaan dari elemen matriks P:

7 = (c+d) / det(Q) = (0+d) / (a/6) = 6d/a => 7a = 6d
4 = -(b+c) / det(Q) = -(b+0) / (a/6) = -6b/a => 4a = -6b
-2 = -(a+b) / det(Q) = -(a+b) / (a/6) = -6(a+b)/a => -2a = -6(a+b) => 2a = 6(a+b) => a = 3(a+b) => a = 3a + 3b => -2a = 3b
6 = a / det(Q) = a / (a/6) = 6

Mari kita gunakan persamaan yang konsisten:
Dari 4 = -(b+c) / det(Q) dan -2 = -(a+b) / det(Q):
4/(-2) = (-(b+c)) / (-(a+b))
-2 = (b+c) / (a+b)
-2(a+b) = b+c
-2a - 2b = b + c
-2a = 3b + c

Kita sudah mendapatkan b = -2a/3 dan c = 0 dari analisis sebelumnya. Mari kita substitusikan kembali:
-2a = 3(-2a/3) + 0
-2a = -2a
Ini konsisten.

Sekarang kita gunakan det(Q) = a/6 dan P = Q^(-1).
Elemen P[0,0] = 7, elemen P[0,1] = 4, elemen P[1,0] = -2, elemen P[1,1] = 6.

Q^(-1) = (1/det(Q)) * [[c+d, -(b+c)], [-(a+b), a]]

7 = (c+d) / det(Q)
4 = -(b+c) / det(Q)
-2 = -(a+b) / det(Q)
6 = a / det(Q)

Dari 6 = a / det(Q), maka det(Q) = a/6.
Dari -2 = -(a+b) / det(Q), maka -2 = -(a+b) / (a/6) => -2 = -6(a+b)/a => -2a = -6a - 6b => 4a = -6b => b = -4a/6 = -2a/3.
Dari 7 = (c+d) / det(Q), maka 7 = (c+d) / (a/6) => 7a/6 = c+d.
Dari 4 = -(b+c) / det(Q), maka 4 = -(b+c) / (a/6) => 4a/6 = -(b+c) => 2a/3 = -(b+c).

Substitusikan b = -2a/3 ke 2a/3 = -(b+c):
2a/3 = -(-2a/3 + c)
2a/3 = 2a/3 - c
Ini mengimplikasikan c = 0.

Karena c = 0, maka dari 7a/6 = c+d, kita dapatkan 7a/6 = d.

Kita perlu mencari nilai 'd'. Kita sudah punya relasi d = 7a/6. Sepertinya kita tidak bisa menemukan nilai numerik pasti untuk 'd' tanpa nilai 'a'. Namun, mari kita periksa apakah ada informasi yang terlewat atau dapat disimpulkan.

Jika P = Q^(-1), maka PQ = I (matriks identitas).

PQ = [7 4 -2 6] * [[a, b+c], [a+b, c+d]]

Elemen [0,0] dari PQ:
7*a + 4*(a+b) = 7a + 4a + 4b = 11a + 4b
Karena ini matriks identitas, elemen [0,0] harus 1. Jadi, 11a + 4b = 1.

Substitusikan b = -2a/3:
11a + 4(-2a/3) = 1
11a - 8a/3 = 1
(33a - 8a) / 3 = 1
25a / 3 = 1
a = 3/25

Sekarang kita bisa mencari nilai d:
d = 7a/6
d = 7 * (3/25) / 6
d = 21/25 / 6
d = 21 / (25 * 6)
d = 21 / 150
Sederhanakan pecahan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
d = 7 / 50

Jadi, nilai d adalah 7/50 atau 0.14.