Diketahui P dan Q suatu polinomial. Jika P(x)

2x + 3

Pembahasan

Kita dapat menggunakan Teorema Sisa untuk menyelesaikan soal ini. 

Untuk polinomial P(x):
Ketika dibagi x-1, sisa -1. Maka P(1) = -1.
Ketika dibagi x+2, sisa 5. Maka P(-2) = 5.

Untuk polinomial Q(x):
Ketika dibagi x+2, sisa 1. Maka Q(-2) = 1.
Ketika dibagi x-1, sisa -2. Maka Q(1) = -2.

Kita ingin mencari sisa P(Q(x)) ketika dibagi x^2 + x - 2. Faktorkan pembagi: x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1).
Misalkan sisa pembagiannya adalah Ax + B. Maka:
P(Q(x)) = (x+2)(x-1) H(x) + Ax + B

Substitusikan x = 1:
P(Q(1)) = (1+2)(1-1) H(1) + A(1) + B
P(Q(1)) = 0 + A + B
P(-2) = A + B
5 = A + B (Persamaan 1)

Substitusikan x = -2:
P(Q(-2)) = (-2+2)(-2-1) H(-2) + A(-2) + B
P(Q(-2)) = 0 - 2A + B
P(1) = -2A + B
-1 = -2A + B (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) A + B = 5
2) -2A + B = -1

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(A + B) - (-2A + B) = 5 - (-1)
A + B + 2A - B = 5 + 1
3A = 6
A = 2

Substitusikan A = 2 ke Persamaan 1:
2 + B = 5
B = 3

Jadi, sisa P(Q(x)) dibagi x^2 + x - 2 adalah Ax + B = 2x + 3.