Diketahui persamaan matriks A^(-1).B^(-1)-A^(-1).D^(-1)=0

Pernyataan yang salah adalah kesimpulan yang tidak dapat diturunkan dari B=D, contohnya A=B atau A=D.

Pembahasan

Diberikan persamaan matriks A^(-1).B^(-1) - A^(-1).D^(-1) = 0.
Kita tahu bahwa sifat perkalian matriks adalah asosiatif, sehingga kita bisa memfaktorkan A^(-1) dari kedua suku:
A^(-1) * (B^(-1) - D^(-1)) = 0

Untuk menghilangkan A^(-1) dari sisi kiri, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan A dari kiri (karena A^(-1) * A = I, di mana I adalah matriks identitas).

A * [A^(-1) * (B^(-1) - D^(-1))] = A * 0
(A * A^(-1)) * (B^(-1) - D^(-1)) = 0
I * (B^(-1) - D^(-1)) = 0
B^(-1) - D^(-1) = 0

Ini berarti:
B^(-1) = D^(-1)

Jika invers dari dua matriks sama, maka matriks aslinya juga sama.
Untuk membuktikannya, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan B dari kiri dan dengan D dari kanan:

B * (B^(-1)) * D = B * (D^(-1)) * D
(B * B^(-1)) * D = B * (D^(-1) * D)
I * D = B * I
D = B

Jadi, dari persamaan matriks yang diberikan, kita dapat menyimpulkan bahwa B = D.

Sekarang mari kita evaluasi beberapa pernyataan yang mungkin salah:

1.  **B = D:** Pernyataan ini benar, seperti yang telah kita buktikan.
2.  **|B| = |D|:** Karena B = D, maka determinan mereka juga pasti sama. Pernyataan ini benar.
3.  **B^(-1) = D^(-1):** Ini adalah langkah awal pembuktian kita, jadi pernyataan ini benar.
4.  **A * B = A * D:** Jika kita kalikan persamaan B = D dari kiri dengan A, kita mendapatkan A * B = A * D. Pernyataan ini benar.
5.  **B * A = D * A:** Jika kita kalikan persamaan B = D dari kanan dengan A, kita mendapatkan B * A = D * A. Pernyataan ini benar.

Pernyataan yang salah adalah jika kita mencoba menyimpulkan sesuatu yang tidak didukung oleh B=D atau persamaan awal.

Misalnya, jika ada pilihan "A = I" atau "|A|=1", itu bisa jadi salah, karena keberadaan A hanya mempengaruhi bentuk persamaan awal tapi tidak menentukan B=D.

Tanpa pilihan spesifik, kita perlu mencari kesimpulan yang TIDAK selalu benar dari B=D.

Contoh pernyataan yang bisa salah:
*   B + A = D + A (Ini benar karena B=D)
*   A + B = A + D (Ini benar karena B=D)
*   B * C = D * C (Ini benar jika C adalah matriks yang sama)

Pernyataan yang salah biasanya melibatkan manipulasi yang tidak valid atau asumsi tambahan.

Misalkan salah satu pilihan adalah **A = B** atau **A = D**. Ini belum tentu benar. Nilai A bisa berbeda dari B dan D.

Contoh lain pernyataan yang salah: **A * B^(-1) = A * D^(-1)**. Jika kita kalikan B^(-1) = D^(-1) dari kanan dengan A, kita dapatkan B^(-1) * A = D^(-1) * A. Jika kita kalikan dari kiri dengan A, kita dapatkan A * B^(-1) = A * D^(-1).

Pernyataan yang paling mungkin salah adalah yang mengklaim hubungan antara A dengan B atau D, atau menyatakan kesamaan yang tidak dapat dibuktikan hanya dari B=D.

Misalnya, jika ada pilihan **A = C** (jika C adalah matriks lain yang tidak didefinisikan di sini), ini bisa salah.

Jika kita kembali ke persamaan awal: A^(-1).B^(-1) - A^(-1).D^(-1) = 0.
Ini menyiratkan A^(-1)(B^(-1) - D^(-1)) = 0.
Karena |A| =/= 0, maka A^(-1) adalah matriks non-singular (memiliki invers).
Jika perkalian dua matriks adalah matriks nol, dan salah satu matriksnya non-singular, maka matriks lainnya haruslah matriks nol.
Oleh karena itu, B^(-1) - D^(-1) haruslah matriks nol.
B^(-1) - D^(-1) = 0
B^(-1) = D^(-1)
Ini mengimplikasikan B = D.

Pernyataan yang salah adalah yang tidak mengikuti dari B = D.
Tanpa pilihan yang diberikan, saya akan memberikan contoh pernyataan yang salah:

Contoh Pernyataan yang SALAH: **A = B**.
Alasan: Persamaan hanya mensyaratkan B=D. Tidak ada informasi yang diberikan mengenai matriks A yang menghubungkannya dengan B atau D.

Jika soal meminta untuk memilih dari pilihan A, B, C, D, E, maka salah satu dari pilihan tersebut akan menjadi kesimpulan yang tidak valid dari B=D.