Diketahui persamaan parabola 16 y=x^2+10x-23. Tentukan

Titik puncak: (-5, -3), Fokus: (-5, 1), Latus Rectum: 16, Direktris: y = -7.

Pembahasan

Untuk menentukan titik puncak, fokus, panjang latus rectum, dan persamaan garis direktris dari persamaan parabola $16y = x^2 + 10x - 23$, kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar. Bentuk standar parabola vertikal adalah $(x-h)^2 = 4p(y-k)$, di mana $(h, k)$ adalah titik puncak, $p$ adalah jarak dari puncak ke fokus (dan dari puncak ke direktris).

Langkah 1: Ubah persamaan ke bentuk standar.
$16y = x^2 + 10x - 23$
$y = rac{1}{16}x^2 + rac{10}{16}x - rac{23}{16}$
Lengkapi kuadrat untuk $x$:
$y = rac{1}{16}(x^2 + 10x) - rac{23}{16}$
$y = rac{1}{16}(x^2 + 10x + 25 - 25) - rac{23}{16}$
$y = rac{1}{16}(x+5)^2 - rac{25}{16} - rac{23}{16}$
$y = rac{1}{16}(x+5)^2 - rac{48}{16}$
$y = rac{1}{16}(x+5)^2 - 3$
Pindahkan -3 ke ruas kiri:
$y + 3 = rac{1}{16}(x+5)^2$
Kalikan kedua ruas dengan 16:
$16(y+3) = (x+5)^2$
Bentuk standar: $(x+5)^2 = 16(y+3)$

Langkah 2: Identifikasi titik puncak $(h, k)$.
Dari bentuk $(x-h)^2 = 4p(y-k)$, kita dapatkan $h = -5$ dan $k = -3$.
Jadi, titik puncak adalah $(-5, -3)$.

Langkah 3: Tentukan nilai $p$.
Bandingkan $(x+5)^2 = 16(y+3)$ dengan $(x-h)^2 = 4p(y-k)$.
Kita lihat bahwa $4p = 16$, sehingga $p = 4$.
Karena $p$ positif, parabola terbuka ke atas.

Langkah 4: Tentukan koordinat fokus.
Fokus berada pada $(h, k+p)$.
Fokus = $(-5, -3 + 4) = (-5, 1)$.

Langkah 5: Tentukan panjang latus rectum.
Panjang latus rectum adalah $|4p|$.
Panjang latus rectum = $|16| = 16$ cm.

Langkah 6: Tentukan persamaan garis direktris.
Persamaan garis direktris untuk parabola vertikal yang terbuka ke atas adalah $y = k-p$.
Persamaan direktris = $y = -3 - 4 = -7$.

Jadi, untuk persamaan parabola $16y = x^2 + 10x - 23$:
Titik puncak: $(-5, -3)$
Fokus: $(-5, 1)$
Panjang latus rectum: 16 cm
Persamaan garis direktris: $y = -7$