Kelas SmamathGeometri Analitik
Diketahui persegi panjang OACB, D titik tengah OA , dan P
Pertanyaan
Diketahui persegi panjang OACB, D titik tengah OA, dan P titik potong CD dengan diagonal AB. Jika a=OA dan b=OB, tentukan OP.
Solusi
Verified
OP = 2/3 a + 1/3 b
Pembahasan
Diketahui persegi panjang OACB, dengan O sebagai titik asal (0,0). Misalkan koordinat A adalah (a,0) dan koordinat B adalah (0,b). Maka koordinat C adalah (a,b). Titik D adalah titik tengah OA, sehingga koordinat D adalah ((0+a)/2, (0+0)/2) = (a/2, 0). Persamaan garis AB yang melalui titik A(a,0) dan B(0,b) adalah \( y - 0 = rac{b-0}{0-a}(x-a) \) atau \( y = -rac{b}{a}(x-a) \). Persamaan garis CD yang melalui titik C(a,b) dan D(a/2, 0) adalah \( y - 0 = rac{b-0}{a-a/2}(x-a/2) \) atau \( y = rac{b}{a/2}(x-a/2) \) atau \( y = rac{2b}{a}(x-a/2) \). P adalah titik potong CD dengan diagonal AB. Kita dapat mencari koordinat P dengan menyamakan kedua persamaan garis: \( -rac{b}{a}(x-a) = rac{2b}{a}(x-a/2) \) Karena b tidak nol, kita bisa membagi kedua sisi dengan b: \( -rac{1}{a}(x-a) = rac{2}{a}(x-a/2) \) Karena a tidak nol, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan a: \( -(x-a) = 2(x-a/2) \) \( -x + a = 2x - a \) \( a + a = 2x + x \) \( 2a = 3x \) \( x = rac{2}{3}a \) Sekarang kita cari nilai y dengan memasukkan nilai x ke salah satu persamaan garis. Menggunakan persamaan garis AB: \( y = -rac{b}{a}(x-a) \) \( y = -rac{b}{a}(rac{2}{3}a - a) \) \( y = -rac{b}{a}(-rac{1}{3}a) \) \( y = rac{1}{3}b \) Jadi, koordinat titik P adalah \( (rac{2}{3}a, rac{1}{3}b) \). Pertanyaan meminta vektor \( rac{OP} \). Vektor posisi P adalah \( rac{2}{3}a extbf{i} + rac{1}{3}b extbf{j} \) jika kita menggunakan basis \( extbf{i} \) dan \( extbf{j} \) yang sejajar dengan OA dan OB. Jika kita hanya menyatakan \( OP \) dalam bentuk \( a \) dan \( b \) sebagai vektor, maka \( OP = rac{2}{3}a + rac{1}{3}b \).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Vektor
Section: Titik Potong Garis
Apakah jawaban ini membantu?