Diketahui polinomial p(x) berderajat 3. Sisa pembagian

Soal ini memiliki kemungkinan kesalahan pengetikan pada pembagi atau sisa, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan pasti.

Pembahasan

Diketahui polinomial p(x) berderajat 3.

Informasi 1: Sisa pembagian p(x) oleh (x^2 + x - 22) adalah (2x - 1).
Ini berarti p(x) dapat ditulis sebagai:
p(x) = q1(x) * (x^2 + x - 22) + (2x - 1)
Kita faktorkan pembagi kuadrat: x^2 + x - 22 = (x + ?)(x - ?). Coba kita cek faktornya. Jika kita coba akar-akar dari x^2 + x - 22 = 0, kita dapat menggunakan rumus abc atau mencoba faktorisasi. Jika kita perhatikan pilihan jawaban soal #5, ada kaitannya dengan akar -3 dan 6 atau -7. Mari kita coba faktorkan x^2 + x - 22. Hmm, sepertinya ada kesalahan ketik pada soal karena 22 tidak mudah difaktorkan dengan bilangan bulat yang menghasilkan selisih 1. Mari kita asumsikan pembaginya adalah (x^2 + x - 2) yang faktornya adalah (x+2)(x-1) atau (x^2 - x - 2) yang faktornya adalah (x-2)(x+1). Jika kita gunakan pembagi x^2+x-2:
p(x) = q1(x) * (x+2)(x-1) + (2x - 1)
Maka, p(-2) = q1(-2)(-2+2)(-2-1) + (2(-2) - 1) = 0 + (-4 - 1) = -5
p(1) = q1(1)(1+2)(1-1) + (2(1) - 1) = 0 + (2 - 1) = 1

Informasi 2: Sisa pembagian p(x) oleh (x^2 + x - 3) adalah (3x - 3).
Ini berarti p(x) dapat ditulis sebagai:
p(x) = q2(x) * (x^2 + x - 3) + (3x - 3)

Karena p(x) berderajat 3, kita bisa menulis p(x) dalam bentuk umum:
p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Namun, ini akan menjadi sistem persamaan linear yang rumit.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan informasi sisa pembagian.
Dari Informasi 2:
p(x) = q2(x) * (x^2 + x - 3) + (3x - 3)
Jika kita substitusikan akar-akar dari x^2 + x - 3 = 0 ke dalam p(x), kita akan mendapatkan nilai (3x-3).
 Akar-akar dari x^2 + x - 3 = 0 adalah x = [-1 ± sqrt(1 - 4(1)(-3))]/2 = [-1 ± sqrt(13)]/2.
Ini juga terlihat rumit.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan ada hubungan antara kedua pembagi.
Jika kita mengabaikan Informasi 1 sejenak dan fokus pada Informasi 2, dan anggap pembagi pada Informasi 1 adalah (x^2 - x - 2), maka:
Informasi 1 (modifikasi): Sisa pembagian p(x) oleh (x^2 - x - 2) = (x-2)(x+1) adalah (2x - 1).
Ini berarti:
p(2) = 2(2) - 1 = 3
p(-1) = 2(-1) - 1 = -3

Informasi 2: Sisa pembagian p(x) oleh (x^2 + x - 3) adalah (3x - 3).
Ini berarti:
p(x) = q2(x) * (x^2 + x - 3) + (3x - 3)

Jika kita anggap soal ini berasal dari sumber yang sama dengan soal #5, di mana titik (k, -1) terletak pada lingkaran x^2+y^2+2x-5y-21=0, dan kita temukan k = -3 atau 6.
Jika k = -3, maka (-3, -1) terletak pada lingkaran.
Jika k = 6, maka (6, -1) terletak pada lingkaran.

Mari kita coba pendekatan dengan menggunakan struktur p(x) = (ax+b)(x^2+x-3) + (3x-3).
Karena p(x) berderajat 3, maka q2(x) harus berderajat 1, misal ax+b.
p(x) = (ax+b)(x^2+x-3) + 3x-3

Sekarang kita gunakan informasi dari pembagi pertama. Jika kita gunakan (x^2 - x - 2) = (x-2)(x+1), maka:
p(2) = 3 dan p(-1) = -3.

Substitusikan x=2:
p(2) = (a(2)+b)(2^2+2-3) + 3(2)-3
3 = (2a+b)(4+2-3) + 6-3
3 = (2a+b)(3) + 3
0 = 3(2a+b)
2a+b = 0  => b = -2a

Substitusikan x=-1:
p(-1) = (a(-1)+b)((-1)^2+(-1)-3) + 3(-1)-3
-3 = (-a+b)(1-1-3) - 3-3
-3 = (-a+b)(-3) - 6
3 = 3(-a+b)
1 = -a+b

Ganti b dengan -2a:
1 = -a + (-2a)
1 = -3a
a = -1/3

Maka, b = -2a = -2(-1/3) = 2/3.

Jadi, p(x) = (-1/3 * x + 2/3)(x^2 + x - 3) + 3x - 3
p(x) = (-1/3 x^3 - 1/3 x^2 + x + 2/3 x^2 + 2/3 x - 2) + 3x - 3
p(x) = -1/3 x^3 + (-1/3 + 2/3)x^2 + (1 + 2/3)x - 2 + 3x - 3
p(x) = -1/3 x^3 + 1/3 x^2 + 5/3 x - 5 + 3x
p(x) = -1/3 x^3 + 1/3 x^2 + (5/3 + 9/3)x - 5
p(x) = -1/3 x^3 + 1/3 x^2 + 14/3 x - 5

Ini adalah satu kemungkinan jika pembagi pertama adalah (x^2 - x - 2).

Jika kita mengasumsikan pembagi pertama adalah (x^2 + x - 2) = (x+2)(x-1), maka:
p(-2) = -5 dan p(1) = 1.

p(x) = (ax+b)(x^2+x-3) + 3x-3

Substitusikan x=-2:
p(-2) = (a(-2)+b)((-2)^2+(-2)-3) + 3(-2)-3
-5 = (-2a+b)(4-2-3) - 6-3
-5 = (-2a+b)(-1) - 9
4 = -(-2a+b)
-4 = -2a+b

Substitusikan x=1:
p(1) = (a(1)+b)(1^2+1-3) + 3(1)-3
1 = (a+b)(1+1-3) + 3-3
1 = (a+b)(-1) + 0
1 = -(a+b)
-1 = a+b

Kita punya sistem persamaan:
1) -2a + b = -4
2) a + b = -1

Kurangkan persamaan (2) dari (1):
(-2a + b) - (a + b) = -4 - (-1)
-3a = -3
a = 1

Substitusikan a=1 ke persamaan (2):
1 + b = -1
b = -2

Jadi, p(x) = (1*x - 2)(x^2 + x - 3) + 3x - 3
p(x) = (x-2)(x^2+x-3) + 3x-3
p(x) = x(x^2+x-3) - 2(x^2+x-3) + 3x-3
p(x) = x^3 + x^2 - 3x - 2x^2 - 2x + 6 + 3x - 3
p(x) = x^3 + (1-2)x^2 + (-3-2+3)x + (6-3)
p(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3

Mari kita periksa kembali sisa pembagian dengan (x^2 + x - 2):
p(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3
Bagi dengan (x-2):
(x^3 - x^2 - 2x + 3) / (x-2)
Menggunakan pembagian sintetis dengan akar 2:
2 | 1  -1  -2   3
  |    2   2   0
  ----------------
    1   1   0   3
Sisanya adalah 3. Sesuai p(2)=3.

Bagi dengan (x+1):
-1 | 1  -1  -2   3
   |   -1   2   0
   ----------------
     1  -2   0   3
Sisanya adalah 3. Tapi seharusnya p(-1) = -3.

Kesimpulan: Ada kemungkinan kesalahan pengetikan pada soal asli, terutama pada pembagi pertama (x^2+x-22) atau pada sisa pembagian. Dengan asumsi pembagi pertama adalah (x^2 - x - 2) dan sisa (2x-1), didapatkan p(x) = -1/3 x^3 + 1/3 x^2 + 14/3 x - 5. Dengan asumsi pembagi pertama adalah (x^2 + x - 2) dan sisa (2x-1), didapatkan p(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3, tetapi ini tidak konsisten dengan sisa pembagian oleh (x+1).

Karena soal ini tidak dapat diselesaikan dengan informasi yang ada atau ada ambiguitas, saya tidak dapat memberikan jawaban yang pasti.