Diketahui rumus fungsi h(x)=x(x-6)^2. Grafik fungsi h(x)

Grafik fungsi h(x) naik pada interval $(-\infty, 2)$ dan $(6, \infty)$

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana grafik fungsi $h(x) = x(x-6)^2$ naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu $h'(x)$, dan menentukan di mana $h'(x) > 0$. 

Pertama, mari kita ekspansi fungsi $h(x)$: 
$h(x) = x(x^2 - 12x + 36) = x^3 - 12x^2 + 36x$

Selanjutnya, kita cari turunan pertama $h'(x)$: 
$h'(x) = d/dx (x^3 - 12x^2 + 36x) = 3x^2 - 24x + 36$

Sekarang, kita cari titik-titik kritis dengan mengatur $h'(x) = 0$: 
$3x^2 - 24x + 36 = 0$
Bagi kedua sisi dengan 3: 
$x^2 - 8x + 12 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat: 
$(x-2)(x-6) = 0$
Jadi, titik-titik kritisnya adalah $x=2$ dan $x=6$.

Selanjutnya, kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini untuk menentukan di mana $h'(x) > 0$. Intervalnya adalah $(-\infty, 2)$, $(2, 6)$, dan $(6, \infty)$.

1. Untuk interval $(-\infty, 2)$, ambil $x=0$: 
$h'(0) = 3(0)^2 - 24(0) + 36 = 36$. Karena $36 > 0$, fungsi naik pada interval ini.
2. Untuk interval $(2, 6)$, ambil $x=3$: 
$h'(3) = 3(3)^2 - 24(3) + 36 = 3(9) - 72 + 36 = 27 - 72 + 36 = -9$. Karena $-9 < 0$, fungsi turun pada interval ini.
3. Untuk interval $(6, \infty)$, ambil $x=7$: 
$h'(7) = 3(7)^2 - 24(7) + 36 = 3(49) - 168 + 36 = 147 - 168 + 36 = 15$. Karena $15 > 0$, fungsi naik pada interval ini.

Jadi, grafik fungsi $h(x)$ naik pada interval $(-\infty, 2)$ dan $(6, \infty)$.