Diketahui S={1945, 1946, 1947, ..., 2016, 2017}. Jika A={a,

Menentukan banyak himpunan bagian A yang memenuhi syarat memerlukan analisis kombinatorik yang kompleks dan tidak dapat dihitung secara manual dengan mudah.

Pembahasan

Himpunan S berisi bilangan bulat dari 1945 hingga 2017. Jumlah elemen dalam S adalah 2017 - 1945 + 1 = 73. Kita perlu mencari banyak himpunan bagian A = {a, b, c, d, e} dari S yang jumlah kelima anggotanya (a + b + c + d + e) habis dibagi 5. Ini berarti a + b + c + d + e ≡ 0 (mod 5). Kita perlu mempertimbangkan sisa pembagian setiap elemen S ketika dibagi 5.  Angka-angka dalam S yang bersisa 0 ketika dibagi 5 adalah: 1945, 1950, ..., 2015.  Jumlahnya adalah (2015 - 1945)/5 + 1 = 70/5 + 1 = 14 + 1 = 15.  Angka-angka dalam S yang bersisa 1 ketika dibagi 5 adalah: 1946, 1951, ..., 2016. Jumlahnya adalah (2016 - 1946)/5 + 1 = 70/5 + 1 = 14 + 1 = 15. Angka-angka dalam S yang bersisa 2 ketika dibagi 5 adalah: 1947, 1952, ..., 2017. Jumlahnya adalah (2017 - 1947)/5 + 1 = 70/5 + 1 = 14 + 1 = 15. Angka-angka dalam S yang bersisa 3 ketika dibagi 5 adalah: 1948, 1953, ..., 2013. Jumlahnya adalah (2013 - 1948)/5 + 1 = 65/5 + 1 = 13 + 1 = 14. Angka-angka dalam S yang bersisa 4 ketika dibagi 5 adalah: 1949, 1954, ..., 2014. Jumlahnya adalah (2014 - 1949)/5 + 1 = 65/5 + 1 = 13 + 1 = 14. Jadi, ada 15 angka bersisa 0, 15 angka bersisa 1, 15 angka bersisa 2, 14 angka bersisa 3, dan 14 angka bersisa 4. Total = 15+15+15+14+14 = 73.  Kita perlu memilih 5 angka sehingga jumlahnya habis dibagi 5. Ini adalah masalah kombinatorik yang cukup kompleks yang melibatkan partisi dari 5 bilangan berdasarkan sisa pembagiannya terhadap 5.  Misalkan n0, n1, n2, n3, n4 adalah jumlah bilangan yang dipilih dari masing-masing kategori sisa. Kita ingin n0+n1+n2+n3+n4 = 5 dan (0*n0 + 1*n1 + 2*n2 + 3*n3 + 4*n4) ≡ 0 (mod 5).  Beberapa kemungkinan kombinasi (n0, n1, n2, n3, n4) yang jumlahnya 5 dan jumlah sisanya habis dibagi 5 adalah: (5,0,0,0,0), (0,5,0,0,0), (0,0,5,0,0), (0,0,0,5,0), (0,0,0,0,5) - ini tidak mungkin karena hanya ada 14 angka bersisa 3 dan 4.  Kombinasi lain: (1,1,1,1,1), (2,1,1,1,0), (1,2,1,1,0), dll.  Menghitung semua kemungkinan ini secara manual akan sangat panjang. Menggunakan prinsip inklusi-eksklusi atau fungsi pembangkit mungkin lebih efisien.  Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan yang mungkin, ini adalah soal yang sangat menantang untuk diselesaikan dalam format ini tanpa alat bantu komputasi yang canggih.  Jawaban ini memerlukan analisis mendalam dari sifat-sifat modular aritmatika dan kombinatorik.  Tanpa alat bantu, jawaban yang akurat sulit diberikan.

Perkiraan Kasar (tidak akurat, hanya ilustrasi kompleksitas):
Jika kita asumsikan distribusi sisa pembagian yang seragam, maka sekitar 1/5 dari semua himpunan bagian 5 elemen akan memenuhi syarat. Jumlah total himpunan bagian 5 elemen dari 73 adalah C(73, 5) = 73*72*71*70*69 / (5*4*3*2*1) = 1.578.786. Maka, perkiraan kasar bisa jadi sekitar 1.578.786 / 5 ≈ 315.757. Namun, distribusi sisa yang tidak seragam (14 vs 15) membuat ini tidak akurat.
Karena kompleksitas soal ini, saya tidak dapat memberikan jawaban numerik yang pasti tanpa alat komputasi.