Diketahui S(n) adalah rumus dari:

1+2+4+8+...+2^k

Pembahasan

Diketahui S(n) adalah rumus jumlah deret geometri tak hingga 1+2+4+8+...+2^(n-1) = 2^n - 1.
Jika S(n) benar untuk n=k+1, maka kita perlu menunjukkan bahwa S(k+1) juga benar.
Rumus S(n) adalah jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a=1 dan rasio r=2.
Rumus S(n) = a(r^n - 1) / (r - 1)
S(n) = 1(2^n - 1) / (2 - 1)
S(n) = 2^n - 1

Sekarang, kita asumsikan S(k) benar, yaitu: 1+2+4+...+2^(k-1) = 2^k - 1.
Kita ingin membuktikan S(k+1) benar. S(k+1) adalah jumlah k+1 suku pertama.
S(k+1) = 1+2+4+...+2^(k-1) + 2^((k+1)-1)
S(k+1) = (1+2+4+...+2^(k-1)) + 2^k
Berdasarkan asumsi S(k), ruas kiri dalam kurung adalah 2^k - 1.
Jadi, S(k+1) = (2^k - 1) + 2^k
S(k+1) = 2 * 2^k - 1
S(k+1) = 2^(k+1) - 1

Ini menunjukkan bahwa jika S(k) benar, maka S(k+1) juga benar.

Ketika ditanya bagaimana ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis jika S(n) benar untuk n=k+1, kita merujuk pada bentuk S(k+1) sebelum disederhanakan.
Ruas kiri S(k+1) adalah jumlah dari k+1 suku pertama deret tersebut.
S(k+1) = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^((k+1)-1)
S(k+1) = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^k

Jika pertanyaan merujuk pada bagaimana ruas kiri dari pernyataan S(n) ketika n diganti k+1, maka jawabannya adalah 1+2+4+8+...+2^k.