Diketahui sebuah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk Titik

8 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik G terhadap bidang PBD, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Identifikasi Koordinat Titik dan Bidang:**
    Misalkan kubus ABCDEFGH memiliki titik A pada (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A = (0,0,0), B = (8,0,0), C = (8,8,0), D = (0,8,0)
E = (0,0,8), F = (8,0,8), G = (8,8,8), H = (0,8,8)

2.  **Tentukan Titik P:**
    Titik P terletak pada perpanjangan AE sehingga AP = 2 * AE. Karena AE adalah rusuk kubus dengan panjang 8 cm, maka AE = 8 cm. Jarak A ke E adalah 8 cm. Titik P berada pada perpanjangan AE, yang berarti P terletak pada sumbu z positif jika A adalah titik asal.
    AP = 2 * 8 cm = 16 cm.
    Karena P berada pada perpanjangan AE, dan E adalah (0,0,8), maka P terletak di sepanjang garis yang sama tetapi lebih jauh dari A. Koordinat P adalah (0,0,16).

3.  **Tentukan Vektor Normal Bidang PBD:**
    Kita perlu mencari dua vektor yang berada di bidang PBD, misalnya $\vec{PB}$ dan $\vec{PD}$.
    $\vec{PB} = B - P = (8,0,0) - (0,0,16) = (8, 0, -16)$
    $\vec{PD} = D - P = (0,8,0) - (0,0,16) = (0, 8, -16)$

    Vektor normal $(\vec{n})$ terhadap bidang PBD dapat dicari dengan hasil perkalian silang $\vec{PB} \times \vec{PD}$.
    $\vec{n} = \vec{PB} \times \vec{PD} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 8 & 0 & -16 \\ 0 & 8 & -16 \end{vmatrix}$
    $\vec{n} = i(0 \cdot (-16) - (-16) \cdot 8) - j(8 \cdot (-16) - (-16) \cdot 0) + k(8 \cdot 8 - 0 \cdot 0)$
    $\vec{n} = i(0 + 128) - j(-128 - 0) + k(64 - 0)$
    $\vec{n} = 128i + 128j + 64k$
    Kita bisa menyederhanakan vektor normal ini dengan membaginya dengan 64: $\vec{n} = 2i + 2j + k = (2, 2, 1)$.

4.  **Tentukan Persamaan Bidang PBD:**
    Persamaan bidang dengan normal $(A, B, C)$ yang melalui titik $(x_0, y_0, z_0)$ adalah $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
    Kita gunakan titik P = (0,0,16) dan vektor normal $\vec{n} = (2, 2, 1)$.
    $2(x-0) + 2(y-0) + 1(z-16) = 0$
    $2x + 2y + z - 16 = 0$
    Jadi, persamaan bidang PBD adalah $2x + 2y + z - 16 = 0$.

5.  **Hitung Jarak Titik G ke Bidang PBD:**
    Jarak dari titik $(x_1, y_1, z_1)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ diberikan oleh rumus:
    Jarak = $|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$

    Titik G memiliki koordinat (8,8,8). Bidang PBD adalah $2x + 2y + z - 16 = 0$ (di sini A=2, B=2, C=1, D=-16).

    Jarak = $|2(8) + 2(8) + 1(8) - 16| / \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}$
    Jarak = $|16 + 16 + 8 - 16| / \sqrt{4 + 4 + 1}$
    Jarak = $|24| / \sqrt{9}$
    Jarak = 24 / 3
    Jarak = 8 cm.

Jawaban: Jarak titik G terhadap bidang PBD adalah 8 cm.