Diketahui segi empat ABCD, dengan AD=26 cm, AB=10 cm, BD=24

Luas segi empat ABCD adalah 120 + 288√3 cm^2.

Pembahasan

Untuk menghitung luas segi empat ABCD, kita perlu membagi segi empat tersebut menjadi dua segitiga, misalnya segitiga ABD dan segitiga BCD, dan menjumlahkan luas kedua segitiga tersebut.

Diketahui:
AD = 26 cm
AB = 10 cm
BD = 24 cm
BC = 2 * BD = 2 * 24 cm = 48 cm
Sudut ABC = 150°

Langkah 1: Hitung luas segitiga ABD.
Kita periksa apakah segitiga ABD adalah segitiga siku-siku menggunakan teorema Pythagoras:
AB^2 + BD^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676
AD^2 = 26^2 = 676
Karena AB^2 + BD^2 = AD^2, maka segitiga ABD adalah segitiga siku-siku di B. Sudut ABD = 90°.
Luas segitiga ABD = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * AB * BD = (1/2) * 10 cm * 24 cm = 120 cm^2.

Langkah 2: Hitung luas segitiga BCD.
Kita memiliki panjang sisi BC = 48 cm, BD = 24 cm, dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut adalah sudut CBD. Namun, kita tidak mengetahui sudut CBD secara langsung. Kita perlu mencari informasi tambahan atau menggunakan rumus luas segitiga jika kita mengetahui sudut antara dua sisi yang diketahui.

Mari kita periksa informasi yang diberikan lagi. Sudut ABC = 150°. Sudut ABC adalah sudut yang dibentuk oleh AB dan BC.
Luas segitiga ABC dapat dihitung jika kita mengetahui sisi AB, BC, dan sudut di antaranya (sudut ABC).
Luas segitiga ABC = (1/2) * AB * BC * sin(sudut ABC)
Luas segitiga ABC = (1/2) * 10 cm * 48 cm * sin(150°)
Luas segitiga ABC = (1/2) * 10 * 48 * (1/2)
Luas segitiga ABC = 10 * 12 = 120 cm^2.

Namun, soal meminta luas segi empat ABCD, yang terdiri dari segitiga ABD dan segitiga BCD. Kita sudah punya luas segitiga ABD = 120 cm^2.

Kita perlu mencari luas segitiga BCD. Kita tahu BC = 48 cm, BD = 24 cm. Kita perlu sudut CBD atau panjang CD.

Mari kita periksa kembali soalnya. Mungkin ada kesalahan penafsiran atau informasi yang hilang. Jika sudut ABC = 150°, dan segitiga ABD siku-siku di B, maka sudut ABD = 90°. Maka sudut CBD = sudut ABC - sudut ABD = 150° - 90° = 60°.

Dengan asumsi sudut CBD = 60°:
Luas segitiga BCD = (1/2) * BD * BC * sin(sudut CBD)
Luas segitiga BCD = (1/2) * 24 cm * 48 cm * sin(60°)
Luas segitiga BCD = (1/2) * 24 * 48 * (√3 / 2)
Luas segitiga BCD = 12 * 48 * (√3 / 2)
Luas segitiga BCD = 6 * 48 * √3
Luas segitiga BCD = 288√3 cm^2.

Luas segi empat ABCD = Luas segitiga ABD + Luas segitiga BCD
Luas segi empat ABCD = 120 cm^2 + 288√3 cm^2.

Mari kita cocokkan dengan pilihan jawaban.
Pilihan C adalah 288 akar(3). Ini adalah luas segitiga BCD saja.
Pilihan A adalah 408 akar(3).
Pilihan B adalah 120 akar(3).
Pilihan D adalah (240+288 akar(3)).
Pilihan E adalah 24(5+12 akar(3)) = 120 + 288 akar(3).

Pilihan E cocok dengan hasil perhitungan kita jika sudut CBD = 60°.

Perlu dipastikan bahwa sudut ABC = 150° dan segitiga ABD siku-siku di B memang mengimplikasikan sudut CBD = 60°. Ini akan terjadi jika titik D terletak 'di dalam' sudut ABC. Jika B berada di antara A dan C pada garis lurus, maka sudut ABC adalah 180°. Jika D tidak segaris dengan AC, maka sudut ABC adalah sudut yang dibentuk oleh ruas garis BA dan BC.

Karena ABD siku-siku di B, maka AB tegak lurus BD. Sudut ABC adalah 150°. Ini berarti bahwa BC membentuk sudut 150° dengan BA. Karena BD tegak lurus BA, maka sudut antara BC dan BD adalah selisihnya.
Sudut CBD = |sudut ABC - sudut ABD| = |150° - 90°| = 60°.

Jadi, luas segi empat ABCD adalah 120 + 288√3 cm^2.