Diketahui segitiga ABC dengan AB=21 cm, BC=10 cm, dan AC=17

a. 8 cm, b. akar(113) cm

Pembahasan

Untuk menentukan panjang garis tinggi dan garis pada segitiga ABC:
Diketahui segitiga ABC dengan AB = 21 cm, BC = 10 cm, dan AC = 17 cm.
a. Menentukan panjang garis tinggi yang ditarik dari titik sudut C.
Kita bisa menggunakan rumus luas segitiga. Pertama, kita perlu mencari panjang sisi-sisinya. Misalkan a = BC = 10, b = AC = 17, dan c = AB = 21.
Kita dapat menggunakan rumus Heron untuk mencari luas segitiga.
Hitung semi-perimeter (s): s = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 48 / 2 = 24 cm.
Luas = akar(s(s-a)(s-b)(s-c))
Luas = akar(24(24-10)(24-17)(24-21))
Luas = akar(24(14)(7)(3))
Luas = akar(24 x 294)
Luas = akar(7056)
Luas = 84 cm².
Luas segitiga juga dapat dihitung dengan rumus Luas = 1/2 x alas x tinggi. Jika alasnya adalah AB (c = 21 cm), maka tingginya adalah garis tinggi dari C (h_c).
84 = 1/2 x 21 x h_c
168 = 21 x h_c
h_c = 168 / 21
h_c = 8 cm.
Jadi, panjang garis tinggi yang ditarik dari titik sudut C adalah 8 cm.

b. Misalkan titik D pada garis AB sehingga AD = 8 cm. Menentukan panjang garis CD.
Kita dapat menggunakan aturan kosinus atau teorema Pythagoras pada segitiga yang terbentuk.
Pada segitiga ABC, kita bisa mencari cosinus sudut A terlebih dahulu menggunakan aturan kosinus:
a² = b² + c² - 2bc cos A
10² = 17² + 21² - 2(17)(21) cos A
100 = 289 + 441 - 714 cos A
100 = 730 - 714 cos A
714 cos A = 730 - 100
714 cos A = 630
cos A = 630 / 714 = 630 / (18 * 35.6) = 35 / 39.66 = 0.8826. (Jika disederhanakan 630/714 = 315/357 = 105/119 = 15/17)
cos A = 15/17.
Sekarang, kita punya segitiga ADC dengan AD = 8 cm, AC = 17 cm, dan sudut A. Kita bisa mencari panjang CD menggunakan aturan kosinus pada segitiga ADC:
CD² = AD² + AC² - 2(AD)(AC) cos A
CD² = 8² + 17² - 2(8)(17) (15/17)
CD² = 64 + 289 - 2(8)(15)
CD² = 353 - 240
CD² = 113
CD = akar(113) cm.

Alternatif untuk bagian b menggunakan Teorema Stewart pada segitiga ABC dengan garis CD:
Misalkan AD = m = 8, DB = n = AB - AD = 21 - 8 = 13, BC = a = 10, AC = b = 17, AB = c = 21, dan CD = d.
Teorema Stewart: b²m + a²n = c(d² + mn)
17²(8) + 10²(13) = 21(d² + 8*13)
289(8) + 100(13) = 21(d² + 104)
2312 + 1300 = 21d² + 2184
3612 = 21d² + 2184
21d² = 3612 - 2184
21d² = 1428
d² = 1428 / 21
d² = 68.
Oops, ada kesalahan dalam perhitungan. Mari kita cek kembali cos A.
cos A = 15/17. Ini sudah benar.
CD² = AD² + AC² - 2(AD)(AC) cos A
CD² = 8² + 17² - 2(8)(17) (15/17)
CD² = 64 + 289 - 2(8)(15)
CD² = 353 - 240
CD² = 113.
Perbedaan hasil mungkin karena pembulatan atau kesalahan perhitungan pada teorema stewart.
Mari kita cek ulang teorema stewart.
289*8 = 2312
100*13 = 1300
2312 + 1300 = 3612
8*13 = 104
21*104 = 2184
3612 = 21(d^2 + 104)
3612 = 21d^2 + 2184
21d^2 = 3612 - 2184 = 1428
d^2 = 1428 / 21 = 68.
Sepertinya ada yang salah dengan nilai cos A atau penerapan teorema.

Mari kita gunakan pendekatan lain untuk CD. Pada segitiga ADC, kita punya AD=8, AC=17. Kita perlu sudut A. Cos A = 15/17. Sin A = akar(1 - (15/17)^2) = akar(1 - 225/289) = akar(64/289) = 8/17.
Dari tinggi segitiga ABC yang sudah dihitung (8 cm) dari C ke AB, misalkan kaki tingginya adalah E. Segitiga AEC siku-siku di E. AE = akar(AC^2 - CE^2) = akar(17^2 - 8^2) = akar(289 - 64) = akar(225) = 15 cm.
Karena AD = 8 cm dan AE = 15 cm, maka titik D berada di antara A dan E. Panjang ED = AE - AD = 15 - 8 = 7 cm.
Sekarang, pada segitiga CDE yang siku-siku di E, kita bisa mencari CD menggunakan teorema Pythagoras:
CD² = CE² + ED²
CD² = 8² + 7²
CD² = 64 + 49
CD² = 113
CD = akar(113) cm.
Hasil ini konsisten dengan perhitungan menggunakan aturan kosinus. Kemungkinan ada kesalahan dalam penerapan Teorema Stewart atau nilai yang diberikan dalam soal tidak membentuk segitiga yang konsisten untuk Teorema Stewart dengan cara tersebut.

Jadi jawaban yang benar adalah:
a. Panjang garis tinggi yang ditarik dari titik sudut C adalah 8 cm.
b. Panjang garis CD adalah akar(113) cm.