Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut A(6,3,1),

Segitiga ABC sama sisi karena panjang ketiga sisinya sama, yaitu 6*sqrt(2). Luas segitiga ABC adalah 18*sqrt(3).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa segitiga ABC sama sisi dan menentukan luasnya, kita perlu menghitung panjang ketiga sisinya terlebih dahulu menggunakan rumus jarak antara dua titik dalam ruang tiga dimensi.

Langkah 1: Menghitung panjang sisi AB.
Titik A = (6,3,1) dan B = (12,3,-5).
AB = sqrt((12-6)^2 + (3-3)^2 + (-5-1)^2)
AB = sqrt(6^2 + 0^2 + (-6)^2)
AB = sqrt(36 + 0 + 36)
AB = sqrt(72)
AB = sqrt(36 * 2)
AB = 6 * sqrt(2)

Langkah 2: Menghitung panjang sisi BC.
Titik B = (12,3,-5) dan C = (4,1,-7).
BC = sqrt((4-12)^2 + (1-3)^2 + (-7-(-5))^2)
BC = sqrt((-8)^2 + (-2)^2 + (-2)^2)
BC = sqrt(64 + 4 + 4)
BC = sqrt(72)
BC = sqrt(36 * 2)
BC = 6 * sqrt(2)

Langkah 3: Menghitung panjang sisi AC.
Titik A = (6,3,1) dan C = (4,1,-7).
AC = sqrt((4-6)^2 + (1-3)^2 + (-7-1)^2)
AC = sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + (-8)^2)
AC = sqrt(4 + 4 + 64)
AC = sqrt(72)
AC = sqrt(36 * 2)
AC = 6 * sqrt(2)

Langkah 4: Membuktikan segitiga ABC sama sisi.
Karena panjang AB = BC = AC = 6*sqrt(2), maka segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

Langkah 5: Menentukan luas segitiga ABC.
Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi 's' adalah (s^2 * sqrt(3)) / 4.
Dalam kasus ini, s = 6*sqrt(2).
Luas ABC = ((6*sqrt(2))^2 * sqrt(3)) / 4
Luas ABC = (72 * sqrt(3)) / 4
Luas ABC = 18 * sqrt(3)

Jadi, terbukti bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan luas 18*sqrt(3).