Diketahui segitiga KLM memiliki koordinat K(-3, 3), L(2,

Sin L = 1/sqrt(122), Tan M = -1

Pembahasan

Untuk mencari nilai Sin L dan Tan M pada segitiga KLM dengan koordinat K(-3, 3), L(2, -3), M(-3, 2), kita perlu menghitung panjang sisi-sisinya terlebih dahulu menggunakan rumus jarak.
Panjang sisi KL = sqrt[(2 - (-3))^2 + (-3 - 3)^2] = sqrt[5^2 + (-6)^2] = sqrt[25 + 36] = sqrt[61]
Panjang sisi LM = sqrt[(-3 - 2)^2 + (2 - (-3))^2] = sqrt[(-5)^2 + 5^2] = sqrt[25 + 25] = sqrt[50] = 5*sqrt[2]
Panjang sisi KM = sqrt[(-3 - (-3))^2 + (2 - 3)^2] = sqrt[0^2 + (-1)^2] = sqrt[1] = 1

Untuk mencari Sin L, kita perlu sudut L. Sudut L dibentuk oleh sisi KL dan LM. Kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari panjang sisi KM jika belum diketahui, atau jika kita ingin mencari sudutnya langsung, kita perlu mencari vektor dari L ke K dan L ke M. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan mengamati bahwa sisi KM sejajar dengan sumbu y. 

Mari kita hitung panjang sisi-sisinya kembali: 
KL = sqrt((2-(-3))^2 + (-3-3)^2) = sqrt(5^2 + (-6)^2) = sqrt(25+36) = sqrt(61)
LM = sqrt((-3-2)^2 + (2-(-3))^2) = sqrt((-5)^2 + 5^2) = sqrt(25+25) = sqrt(50) = 5*sqrt(2)
KM = sqrt((-3-(-3))^2 + (2-3)^2) = sqrt(0^2 + (-1)^2) = sqrt(1) = 1

Perhatikan bahwa titik K dan M memiliki koordinat x yang sama (-3), yang berarti sisi KM adalah garis vertikal. Titik L berada di (2, -3).
Untuk menghitung Sin L, kita perlu mengetahui panjang sisi di depan sudut L (yaitu KM) dan panjang sisi miring (misalnya KL atau LM). Namun, kita tidak bisa langsung menentukan sisi miring tanpa mengetahui sudut siku-sikunya atau menggunakan aturan sinus/kosinus.

Mari kita gunakan pendekatan vektor untuk sudut L.
vektor LK = K - L = (-3-2, 3-(-3)) = (-5, 6)
vektor LM = M - L = (-3-2, 2-(-3)) = (-5, 5)
cos L = (LK . LM) / (|LK| * |LM|) = ((-5)(-5) + (6)(5)) / (sqrt(61) * sqrt(50)) = (25 + 30) / (sqrt(3050)) = 55 / sqrt(3050)
Sin L = sqrt(1 - cos^2 L) = sqrt(1 - (55^2 / 3050)) = sqrt(1 - 3025 / 3050) = sqrt(25 / 3050) = 5 / sqrt(3050) = 5 / (5 * sqrt(122)) = 1 / sqrt(122)

Untuk Tan M, kita perlu sudut M. Sudut M dibentuk oleh sisi LM dan KM.
vektor ML = L - M = (2-(-3), -3-2) = (5, -5)
vektor MK = K - M = (-3-(-3), 3-2) = (0, 1)
cos M = (ML . MK) / (|ML| * |MK|) = ((5)(0) + (-5)(1)) / (sqrt(50) * 1) = -5 / sqrt(50) = -5 / (5*sqrt(2)) = -1 / sqrt(2)
Karena cos M negatif, sudut M tumpul. Sin M = sqrt(1 - cos^2 M) = sqrt(1 - (-1/sqrt(2))^2) = sqrt(1 - 1/2) = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2)
Tan M = Sin M / cos M = (1/sqrt(2)) / (-1/sqrt(2)) = -1

Jadi, Sin L = 1/sqrt(122) dan Tan M = -1.