Tentukan turunan fungsi

f'(x) = -1 / (akar(x)(akar(x) - 1)^2)

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi f(x)=(x+akar(x))/(x-akar(x)), kita gunakan aturan kuosien.

Misalkan u = x + akar(x) dan v = x - akar(x).
Turunan dari u (du/dx) = 1 + (1 / (2 * akar(x))).
Turunan dari v (dv/dx) = 1 - (1 / (2 * akar(x))).

Aturan kuosien adalah: f'(x) = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2

f'(x) = [ (x - akar(x)) * (1 + 1/(2*akar(x))) - (x + akar(x)) * (1 - 1/(2*akar(x))) ] / (x - akar(x))^2

Mari kita ekspansi bagian pembilangnya:
(x - akar(x)) * (1 + 1/(2*akar(x))) = x + x/(2*akar(x)) - akar(x) - akar(x)/(2*akar(x))
= x + akar(x)/2 - akar(x) - 1/2
= x - akar(x)/2 - 1/2

(x + akar(x)) * (1 - 1/(2*akar(x))) = x - x/(2*akar(x)) + akar(x) - akar(x)/(2*akar(x))
= x - akar(x)/2 + akar(x) - 1/2
= x + akar(x)/2 - 1/2

Sekarang, kurangkan hasil kedua:
(x - akar(x)/2 - 1/2) - (x + akar(x)/2 - 1/2)
= x - akar(x)/2 - 1/2 - x - akar(x)/2 + 1/2
= -akar(x)

Jadi, pembilangnya adalah -akar(x).

Sekarang kita kuadratkan penyebutnya:
(x - akar(x))^2 = x^2 - 2*x*akar(x) + (akar(x))^2
= x^2 - 2*x*akar(x) + x

Maka, turunan fungsinya adalah:
f'(x) = -akar(x) / (x^2 - 2*x*akar(x) + x)

Kita bisa menyederhanakan penyebutnya dengan mengeluarkan akar(x):
penyebut = akar(x) * (x*akar(x) - 2x + akar(x))

Atau kita bisa keluarkan x dari penyebut:
penyebut = x(x - 2*akar(x) + 1)
penyebut = x(akar(x) - 1)^2

Jadi, f'(x) = -akar(x) / (x(akar(x) - 1)^2)

Kita bisa juga menyederhanakan lagi:
f'(x) = -1 / (akar(x)(akar(x) - 1)^2)

Jawaban: Turunan dari f(x)=(x+akar(x))/(x-akar(x)) adalah f'(x) = -akar(x) / (x^2 - 2*x*akar(x) + x) atau disederhanakan menjadi f'(x) = -1 / (akar(x)(akar(x) - 1)^2).